【位运算】XOR Construction—CF1895D

XOR Construction—CF1895D
参考文章

翻译

题目要求构造一个长度为 $n$ 的数组 $b$，满足以下条件：

• 数组 $b$ 中包含从 $0$ 到 $n-1$ 的每个整数，且每个整数仅出现一次；
• 对于 $i$ 从 $1$ 到 $n-1$，$b_i\oplus b_{i+1}=a_i$（其中 $\oplus$ 表示按位异或运算符）。

输入

第一行包含一个整数 $n$（$2\le n\le 2\cdot 10^5$）。

第二行包含 $n-1$ 个整数 $a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}$（$0\le a_i\le 2n$）。

输入的附加限制条件：始终可以从给定序列 $a$ 构造出至少一个有效的数组 $b$。

输出

输出 $n$ 个整数 $b_1,b_2,\dots ,b_n$。如果存在多个满足条件的数组，可以输出其中任意一个。

思路

由 $b_i\oplus b_{i+1}=a_i$ 得：
$b_1\oplus b_2=a_1$
$b_2\oplus b_3=a_2$
$b_3\oplus b_4=a_3$，异或累加得：
$b_1\oplus b_i=a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus ...\oplus a_{i-1}$，即：
$b_i=b_1\oplus a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus ...\oplus a_{i-1}$。

因为题目保证有解，所以 $b_1$ 存在某个取值，使得 $b$ 中元素各不相同，即 $a$ 的所有前缀异或和各不相同，且不存在 $0$。那么我们很容易得到：
对于 $b_1$ 的任意取值，$b$ 中元素都互不相同。

因为 every integer from $0$ to $n-1$ appears in $b$ exactly once，而我们已经知道了 $b$ 中元素互不相同，现在的任务就是保证 $b$ 中元素最小化。为了达到这一目的，我们只能修改 $b_1$ 的大小。

让 $b_1$ 的二进制第 $k$ 位最优，使得 $b_2,...,b_n$ 中二进制第 $k$ 位上的“1”的数量最小，进而使得 $b$ 数组整体最小。这里使用了贪心的思路来实现（局部最优得到整体最优，二进制每一位最优得到二级制所有位最优）。

$Code$

#include 
#define int long long
#define sz(a) ((int)a.size())
#define all(a) a.begin(), a.end()
using namespace std;
using PII = pair<int, int>;
using i128 = __int128;
const int N = 2e5 + 10;

int n;

void solve(int Case) {
	cin >> n;
	vector <int> a(n + 1, 0);
	for (int i = 1; i <= n - 1; i ++) {
		cin >> a[i];
		a[i] ^= a[i - 1];
	}
	
	int b1 = 0;
	for (int i = 0; i <= 30; i ++) {
		int num1 = 0;
		int num0 = 0;
		for (int j = 1; j <= n - 1; j ++) {
			if (a[j] >> i & 1) {
				num1 ++;
			} else {
				num0 ++;
			}
		}
		if (num1 > num0) {
			b1 += 1 << i;
		}
	}
	
	cout << b1 << " ";
	for (int i = 2; i <= n; i ++) {
		cout << (a[i - 1] ^ b1) << " ";
	}
	cout << "\n";
}

signed main() {
	cin.tie(0)->ios::sync_with_stdio(false);
	int T = 1;
//	cin >> T; cin.get();
	int Case = 0;
	while (++ Case <= T) solve(Case);
	return 0;
}