【位运算】XOR Construction—CF1895D

XOR Construction—CF1895D
参考文章

翻译

题目要求构造一个长度为 n n n 的数组 b b b,满足以下条件:

  • 数组 b b b 中包含从 0 0 0 n − 1 n-1 n1 的每个整数,且每个整数仅出现一次;
  • 对于 i i i 1 1 1 n − 1 n-1 n1 b i ⊕ b i + 1 = a i b_i \oplus b_{i+1} = a_i bibi+1=ai(其中 ⊕ \oplus 表示按位异或运算符)。

输入

第一行包含一个整数 n n n 2 ≤ n ≤ 2 ⋅ 1 0 5 2 \le n \le 2 \cdot 10^5 2n2105)。

第二行包含 n − 1 n-1 n1 个整数 a 1 , a 2 , … , a n − 1 a_1, a_2, \dots, a_{n-1} a1,a2,,an1 0 ≤ a i ≤ 2 n 0 \le a_i \le 2n 0ai2n)。

输入的附加限制条件:始终可以从给定序列 a a a 构造出至少一个有效的数组 b b b

输出

输出 n n n 个整数 b 1 , b 2 , … , b n b_1, b_2, \dots, b_n b1,b2,,bn。如果存在多个满足条件的数组,可以输出其中任意一个。

思路

b i ⊕ b i + 1 = a i b_i \oplus b_{i+1}=a_i bibi+1=ai 得:
b 1 ⊕ b 2 = a 1 b_1 \oplus b_2=a_1 b1b2=a1
b 2 ⊕ b 3 = a 2 b_2 \oplus b_3=a_2 b2b3=a2
b 3 ⊕ b 4 = a 3 b_3 \oplus b_4=a_3 b3b4=a3,异或累加得:
b 1 ⊕ b i = a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ . . . ⊕ a i − 1 b_1 \oplus b_i=a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus ... \oplus a_{i-1} b1bi=a1a2a3...ai1,即:
b i = b 1 ⊕ a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ . . . ⊕ a i − 1 b_i=b_1 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus ... \oplus a_{i-1} bi=b1a1a2a3...ai1

因为题目保证有解,所以 b 1 b_1 b1 存在某个取值,使得 b b b 中元素各不相同,即 a a a 的所有前缀异或和各不相同,且不存在 0 0 0。那么我们很容易得到:
对于 b 1 b_1 b1 的任意取值, b b b 中元素都互不相同。

因为 every integer from 0 0 0 to n − 1 n-1 n1 appears in b b b exactly once,而我们已经知道了 b b b 中元素互不相同,现在的任务就是保证 b b b 中元素最小化。为了达到这一目的,我们只能修改 b 1 b_1 b1 的大小。

b 1 b_1 b1 的二进制第 k k k 位最优,使得 b 2 , . . . , b n b_2, ..., b_n b2,...,bn 中二进制第 k k k 位上的“1”的数量最小,进而使得 b b b 数组整体最小。这里使用了贪心的思路来实现(局部最优得到整体最优,二进制每一位最优得到二级制所有位最优)。

C o d e Code Code

#include 
#define int long long
#define sz(a) ((int)a.size())
#define all(a) a.begin(), a.end()
using namespace std;
using PII = pair<int, int>;
using i128 = __int128;
const int N = 2e5 + 10;

int n;

void solve(int Case) {
	cin >> n;
	vector <int> a(n + 1, 0);
	for (int i = 1; i <= n - 1; i ++) {
		cin >> a[i];
		a[i] ^= a[i - 1];
	}
	
	int b1 = 0;
	for (int i = 0; i <= 30; i ++) {
		int num1 = 0;
		int num0 = 0;
		for (int j = 1; j <= n - 1; j ++) {
			if (a[j] >> i & 1) {
				num1 ++;
			} else {
				num0 ++;
			}
		}
		if (num1 > num0) {
			b1 += 1 << i;
		}
	}
	
	cout << b1 << " ";
	for (int i = 2; i <= n; i ++) {
		cout << (a[i - 1] ^ b1) << " ";
	}
	cout << "\n";
}

signed main() {
	cin.tie(0)->ios::sync_with_stdio(false);
	int T = 1;
//	cin >> T; cin.get();
	int Case = 0;
	while (++ Case <= T) solve(Case);
	return 0;
}

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