基于免疫优化算法的TSP算法

一、理论基础

TSP(traveling salesman problem,旅行商问题)是典型的NP完全问题，即其最坏情况下的时间复杂度随着问题规模的增大按指数方式增长，到目前为止还未找到一个多项式时间的有效算法。
TSP问题可描述为：已知$n$个城市相互之间的距离，某一旅行商从某个城市出发访问每个城市有且仅有一次，最后回到出发城市，如何安排才使其所走路线距离最短。简言之，就是寻找一条最短的遍历$n$个城市的路径，或者说搜索自然子集$X=\{1,2,\cdots ,n\}$($X$的元素表示对$n$个城市的编号)的一个排列$\pi (X)=\{V_1,V_2,\cdots ,V_n\}$，使得$$T_d=\sum _{i=1}^{n+1}d(V_i,V_{i+1})+d(V_n,V_1)$$取得最小值，其中$d(V_i,V_{i+1})$表示城市$V_i$到城市$V_{i+1}$的距离。

二、案例背景

1、问题描述

假设有一个旅行商人要拜访某些城市，他需要选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择要求是：所选路径的路程为所有路径之中的最小值。
具体城市个数及位置可参考：
链接：https://pan.baidu.com/s/1eJZXhoM8hjvp-3UGhzYZQw
提取码：wxyz
其中一个城市位置分布图如图1所示。

图1 城市分布图

2、解决思路及步骤

(1). 算法流程

免疫优化算法求解TSP问题的流程如图2所示。

图2 算法流程图

(2). 算法实现过程

（1）初始化免疫个体维数为城市个数$N$，免疫种群个体数为$NP=200$，最大免疫代数为$G=1000$，克隆个数为$Ncl=10$，计算任意两个城市间的距离矩阵$D$。
（2）随机产生初始种群，计算个体亲和度（即路径距离），并按亲和度升序排列。
（3）在取亲和度前对$NP/2$个个体进行克隆操作，并对每个源个体产生的克隆个体进行任意交换两个城市的变异操作；然后计算其亲和度，进行克隆抑制操作，只保留亲和度最高的个体，从而产生新的免疫种群。
（4）随机生成$NP/2$个个体的新种群，并计算个体亲和度；免疫种群和随机种群合并，按亲和度排序，进行免疫迭代。
（5）判断是否满足终止条件：若满足，则结束搜索过程，输出优化值；若不满足，则继续进行迭代优化。

三、MATLAB程序实现

1、程序源码

• 计算路径长度函数

function len = PathLength(D, Chrom)
%% 计算各个体的路径长度
% 输入：
% D     两两城市之间的距离
% Chrom 个体的轨迹
[row, col] = size(D);
NIND = size(Chrom,1);
len = zeros(NIND,1);
for i = 1:NIND
    p = [Chrom(i,:) Chrom(i,1)];
    i1 = p(1:end-1);
    i2 = p(2:end);
    len(i, 1) = sum(D((i1-1)*col+i2));
end

• 输出路径信息的函数

function p = OutputPath(R)
%% 输出路径函数
%输入：R 路径
R = [R, R(1)];
N = length(R);
p = num2str(R(1));
for i = 2:N
    p = [p,'—>',num2str(R(i))];
end
disp(p)

• 画出路线轨迹图的函数

function DrawPath(Chrom,X)
%% 画路径函数
% 输入
% Chrom      待画路径
% X          各城市坐标位置
R = Chrom(1, :);       % 一个随机解(个体)
n = size(X, 1);
figure;
plot([X(R(1), 1), X(R(n), 1)], [X(R(1), 2) ,...
    X(R(n), 2)], 'ms-', 'LineWidth', 2, 'MarkerEdgeColor', 'k', 'MarkerFaceColor', 'g')
hold on
for i = 2:n
    plot([X(R(i-1), 1),X(R(i), 1)], [X(R(i-1), 2),...
        X(R(i), 2)], 'ms-', 'LineWidth', 2, 'MarkerEdgeColor', 'k', 'MarkerFaceColor', 'g')
    hold on
end
plot(X(R(1), 1), X(R(1), 2), 'bv', 'MarkerSize', 20)
plot(X(R(end), 1), X(R(end), 2), 'bs', 'MarkerSize', 20)
text(X(R(1),1)+0.03, X(R(1),2)+0.03, [' 起点' num2str(R(1))], 'color', [1,0,0]);
text(X(R(end),1)+0.03, X(R(end),2)+0.03, [' 终点' num2str(R(end))], 'color', [1,0,0]);
for i = 1:size(X,1)
    if R(1) ~= i && R(end) ~= i
        text(X(i,1)+0.03, X(i,2)+0.03, num2str(i), 'color', [0,0,0]);
    end
end
grid on
xlabel('横坐标')
ylabel('纵坐标')
title('轨迹图')

• 主函数

clear;
clc;
%% 加载数据，画出城市位置
load CityPosition3.mat
figure;
plot(X(:, 1), X(:, 2), 'ms', 'LineWidth', 2, 'MarkerEdgeColor', 'k', 'MarkerFaceColor', 'g')
for i = 1:size(X, 1)
    text(X(i, 1)+0.03, X(i, 2)+0.03, num2str(i));
end
legend('城市位置')
title('城市分布图', 'fontsize', 12)
xlabel('km', 'fontsize', 12)
ylabel('km', 'fontsize', 12)
grid on;
%% 初始化参数
N = size(X, 1);        % 城市数量
D = zeros(N);          % 距离矩阵
% 求任意两个城市距离间隔矩阵
for i = 1:N
    for j = i+1:N
        D(i, j) = sqrt(sum((X(i, :)-X(j, :)).^2));
        D(j, i) = D(i, j);    % 利用D是对称矩阵的性质
    end
end
NP = 200;                           % 免疫个体数目
G = 1000;                           % 最大免疫代数
Chrom = zeros(NP, N);       % 种群
% 初始化种群
for i = 1:NP
    Chrom(i, :) = randperm(N);           % 随机生成初始种群
end
len = PathLength(D, Chrom);            % 各个体路径长度
[Sortlen, Index] = sort(len);
SortChrom = Chrom(Index, :);     % 种群个体排序
gen = 1;                                % 免疫代数初值
Ncl = 10;                               % 克隆个数
%% 画出随机解的路线图
DrawPath(Chrom(1, :), X); 
%% 输出随机解的路线和总距离
disp('初始种群中的一个随机值:')
OutputPath(Chrom(1,:));
Rlength = PathLength(D,Chrom(1,:));
disp(['总距离：', num2str(Rlength)]);
disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
%% 免疫算法迭代优化
while gen<G
    for i = 1:NP/2
        %% 选亲和度前NP/2个个体进行免疫操作
        c = SortChrom(i, :);
        chrom = repmat(c, Ncl, 1);
        for j = 1:Ncl
            while 1
                p1 = floor(1+N*rand());
                p2 = floor(1+N*rand());
                if p1 ~= p2
                    break;
                end
            end
            temp = chrom(j, p1);
            chrom(j, p1) = chrom(j, p2);
            chrom(j, p2) = temp;
        end
        chrom(1, :) = SortChrom(i, :);   % 保留克隆源个体           
        %% 克隆抑制，保留亲和度最高的个体
        chromLen = PathLength(D, chrom);
        [SortChromLen, index] = sort(chromLen);
        Sortchrom = chrom(index, :);
        ch(i, :) = Sortchrom(1, :);
        chLen(i) = SortChromLen(1);
    end
    %% 种群更新
    for i = 1:NP/2
        rc(i, :) = randperm(N);         % 随机生成种群
    end  
    rcLen = PathLength(D, rc); % 计算路径长度
    %% 免疫种群与新种群合并
    Chrom = [ch; rc];
    len = [chLen'; rcLen];
    [Sortlen, index] = sort(len);
    SortChrom = Chrom(index, :);
    % 迭代次数加1，记录最优值
    trace(gen) = Sortlen(1);
    gen = gen+1;
end
%% 画出最优解的路线图
ShortestPath = SortChrom(1, :);         % 最优路径
ShortestLength = trace(end);            % 最短距离
DrawPath(ShortestPath, X)
figure;
plot(trace, 'r', 'LineWidth', 2);
xlabel '迭代次数'; ylabel '路径距离';
title '亲和度进化曲线';
%% 输出最优解的路线和总距离
disp('最优路线：')
p = OutputPath(ShortestPath);
disp(['最短距离：', num2str(ShortestLength)]);
disp('-------------------------------------------------------------')

2、结果分析

优化前的一个随机路线轨迹图如图3所示。

图3 随机路线图

初始种群中的一个随机值:
20—>31—>18—>25—>8—>9—>7—>19—>27—>10—>2—>26—>16—>1—>6—>15—>28—>13—>14—>22—>17—>3—>21—>23—>12—>4—>29—>11—>30—>24—>5—>20
总距离：42.7564
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

优化后的路线轨迹如图4所示。

图4 优化后的路线轨迹图 亲和度进化曲线如图5所示。

图5 亲和度进化曲线

最优路线：
14—>12—>13—>7—>5—>2—>10—>9—>8—>4—>16—>6—>11—>23—>20—>21—>22—>18—>3—>17—>19—>24—>25—>26—>28—>27—>30—>31—>29—>1—>15—>14
最短距离：15.9262
-------------------------------------------------------------

由优化图可以看出，优化前后路径长度得到很大改进，接近300代后路径长度已经保持不变了，可以认为是最优解了，总距离由优化前的42.7564减少到优化后的15.9262，减为原来的37.2%。

四、参考文献

[1] 凯旋16668. 【啃书】《智能优化算法及其MATLAB实例》例4.3免疫算法求解TSP问题. CSDN博客.
[2] 曲怪曲怪. 智能算法之免疫算法求解TSP问题. CSDN博客.
[3] 杨震, 陈立万, 刘莎, 等. 基于免疫克隆多目标优化的WSN覆盖控制研究[J]. 电脑知识与技术, 2018, 14(28): 172-175+181.