树状数组（区间维护/单点修改/区间最值）

1，定义

数组数组用于维护区间信息，简洁的几行的代码可以单点操作/区间查询，或者区间操作与单点查询。

注意：维护区间信息时，查询ask(x)返回的是x的值。进行的单点操作，查询ask(x)返回的是1~x的前缀和

虽然功能小于线段树，但是在相同功能的实现上，两者复杂度（但是线段树常数大）差不多。线段树

2，实现思路

树状数组有两个功能，一个是单点修改，区间（单点）查询。一个是区间修改，但是只能单点查询。两个功能不能同时使用。

我们先介绍第一个功能

先看一下树状数组的图

 我们观察出他的几个性质：

1. 最外层的t是2的倍数（只有一个1），而且他的t[x]的值是a[1]+...+a[x]
2. 每个点的父亲都是该点加上自己的最低位1就可得到如0010，最低位是10，0010+10=0100，就是父亲。
3. 我们求x的1到x的前缀和，假设x=7，那么sum[7]=t[7]+t[6]+t[4],发现每次都是不断减去最低位1，直到最外层，即7-lowbit(7)=6,   6-lowbit(6)=4。

我们如何求最低位1呢？

1. 我们知道：-x等价于x取反+1,假设x=10110，~x=01001,~x+1=01110。注意到-x与x的最低位1同位，其他高位全部不同，这是偶然吗？
2. 我们对x取反，那么~x与x所有位不同，但是加上1后，再遇到最低位第一个0前，1全部变成0，不断往前推进（使得本来不同变得相同），当遇到0后，1被0吸收变成1，不再往后了，那么后面的高位仍然保持所有位不同。这样，我们把-x&x得到的就是lowbit，即最低位1

1，单点操作如何如何区间值更新呢

假如我们对x+k，那么他的祖先们都需要，去祖先的更新方法就是+lowbit

void add(int x,int k)
{
	for (int i=x; i<=n; i+=i&-i)t[i]+=k;
}

2，区间查询思路简单，我们t表示的是子树的值

那么我们从t[x]一直减最低位1，累加到t[0]即可

ll ask(int x)
{
	ll ans=0;
	for (int i=x; i; i-=i&-i)ans+=t[i];
	return ans;
}

模板题：P3374 【模板】树状数组 1

#include 
using namespace std;
#define ll     long long
const int N = 5e5 + 10;
int a[N],t[N];
int n;
void add(int x,int k)
{
	for (int i=x; i<=n; i+=i&-i)t[i]+=k;
}

ll ask(int x)
{
	ll ans=0;
	for (int i=x; i; i-=i&-i)ans+=t[i];
	return ans;
}

int main()
{
	int m,p,x,y;
	cin>>n>>m;
	for (int i=1; i<=n; ++i)cin>>a[i],add(i,a[i]);
	while (m--)
		{
			cin>>p>>x>>y;
			if (p==1)
				{
					add(x,y);
				}
			else if (p==2)
				{
					cout<

3，实现功能2

1. 我们这时只维护单点的值，不再是区间值，所以思路是把原来的数组表示为差分数组，那么原来的x的前缀和就成为x的值

代码没什么区别

int b[N];
int n;
void add(int x,int k)
{
	for (int i=x; i<=n; i+=i&-i)b[i]+=k;
}
ll ask(int x)
{
	ll ans=0;
	for (int i=x; i; i-=i&-i)ans+=b[i];
	return ans;
}

模板题2：P3368 【模板】树状数组 2

#include 
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 5e5 + 10;

int b[N];
int n;
void add(int x,int k)
{
	for (int i=x; i<=n; i+=i&-i)b[i]+=k;
}
ll ask(int x)
{
	ll ans=0;
	for (int i=x; i; i-=i&-i)ans+=b[i];
	return ans;
}

int main()
{
	int m,p,x,y,k;
	cin>>n>>m;
	for (int i=1; i<=n; ++i)cin>>x,add(i,x),add(i+1,-x);
	while (m--)
		{
			cin>>p;
			if (p==1)
				{
					cin>>x>>y>>k;
					add(x,k),add(y+1,-k);
				}
			else if (p==2)
				{
					cin>>x;
					cout<

4，维护区间最值

1. 我们联想线段树是如何维护区间最值的——由子代区间最值更新到父代。树状数组也是树形结构，我们可以把t[]数组表示为他包含区间（看一开始那张图）的最值。设a[]为原数组,t[]为区间最值数组（显然由树状数组的结构可以看出他包含的区间就是[x-lowbit[x]+1,x]
2. 那么，比如我们求[2,7]的最值
   1. 从7开始下降遍历子树，首先7没有儿子，那么先取t[7],7-lowbit(7)=6
   2. t[6]维护[5,6]最值，所以取t[6]，6-lowbit[6]=4
   3. t[4]维护[1,4]超出区间,那么先取a[4],然后寻找符合访问的4的亲儿子。
   4. t[3]是4的儿子，维护3最大值，取
   5. t[2]是4儿子，超出范围，取a[2],t[2]儿子t[1]不符合范围，舍去
   6. 所以结果就是max{t[7],t[6],a[4],a[3],a[2]}
3. 如何区间修改呢
   1. 所以我们修改一个点x为w时，先改t[x]=a[x]=w,然后遍历t[x]的亲儿子们更新t[x]区域的最大值。
   2. 如何遍历t[x]的亲儿子呢？观察到儿子们就是儿子v加上lowbit(v)=x，那么反过来想，x得到他们就是对x小于lowbit(x)的二进制位上-1，设,那么x的儿子就是x-2^1与x-2^2即（011）与（010）
   3. 显然这还不够，t[x]也是某人的儿子啊，那么儿子变了，父亲也需要变。我们是需要重新遍历父节点的所有亲儿子的（否则有可能无法成功修改父节点最大值，如原本t[父]=t[x]（原来的），而t[x]修改后变小了，显然只有重新让父节点遍历所有儿子才能重新修改）
4. 如何区间查询呢，其实就是按照刚才遍历的思路寻找即可。

模板题：Problem - 1754 (hdu.edu.cn)

#include 
using namespace std;
#define ll               long long
#define endl             "\n"
#define int              long long
const int N = 2e5 + 10;

int t[N],a[N];
int n,q;
void update(int x,int w)
{
	t[x]=a[x]=w;//修改时该点也要修改
	while(x<=n)//遍历x及其所有树上祖先进行修改
		{
			int lx=x&-x;//lowbit(x)
			for(int i=1; i=l)ans=max(ans,t[r]),r=lx-1;//查询时，如果[x-lowbit[x]+1,x]在范围内，直接获取，否则，取出a[x]，x--
			else ans=max(ans,a[r]),r--;
		}
	return ans;
}

void mysolve()
{

	while(cin>>n>>q)
		{
			for(int i=1; i<=n; ++i)cin>>a[i],update(i,a[i]);
			int x,y;
			char c;
			while(q--)
				{
					cin>>c>>x>>y;
					if(c=='Q')cout<> t;
	while (t--)
		{
			mysolve();
		}
	system("pause");
	return 0;
}