应用密码学实验 模幂运算、欧几里得算法、素数的检测

实验二 密码学的数学基础

模幂运算、欧几里得算法、素数的检测

• 实验目的

通过实验熟练掌握模幂运算、欧几里得算法和素数检测算法。

• 实验要求

• 模幂运算

1. 输入任意的整数p、n、a，计算a^n mod p
2. 有对应的程序调试记录和实验验证

• 欧几里得算法

1. 用辗转相除法求两个数的最大公约数，输入任意两个整数，输出其最大公约数
2. 模逆运算：输入两个整数a、b，在辗转相除的基础上，如果求得的最大公约数为1，则输出a mod b及b mod a的乘法逆元。

• 素数检测

1. 编程实现Eratosthenes筛法
2. 输入任意一个整数，判定是否为素数，输出判定结果

• 实验内容

• 模幂运算

1. 算法原理

快速实现模幂运算的基本原理是模重复平方计算法，其理论基础是模运算的基本性质，即相乘与求模两个运算是可交换的。

r  =（ab）（mod m） =  （a（mod m））（b（mod m））（mod m）

1. 算法步骤

1. 将n表示为二进制，n=(n)r (n)r-1 (n)r-2 …(n)1(n)0 ,用一个数组保存n的各个数位，n共有r+1位
2. 循环计算（用数组b保存所有中间结果）：先循环计算一系列结果。a^2 mod p,a^4 mod p,a^8 mod p,…,再把指数n的二进制表示中取值为1的位对应的a的幂相乘，即可得到最终结果

1. 程序代码

 

运行结果

• 欧几里得算法

1. 辗转相除

实验原理：给定两个正整数a与b，其最大公约数有如下特点：

gcd（a,b）=gcd(a-b,b)=gcd(a-2b,b)=…=gcd(a mod b,b)

上式构成了辗转相除法的理论基础：当a>b时，从a中反复减去b的倍数，直至结果比b小，这相当于用a除以b得到的余数r1，再用b除以r1，得到商和余数r2（小于r1），反复执行上述过程，让余数不断减小，直至最后能整除为止，此时便得到了a与b的最大公约数。

1. 程序代码

运行结果

• 素数的检测

1. Eratosthenes筛法

算法原理：给定正整数n，为了找到小于n的所有素数，可以采取排除法：先去掉0和1，再依次去掉2、3、5、…、n^1/2的倍数，剩下的即为n以内的全部素数。

1. 程序代码

 

 运行结果

• 实验总结

模幂运算、欧几里得算法和素数检测算法都是密码学的数学基础，必须要掌握。

模幂运算是对给定整数p、n、a，计算a^n mod p，这个运算在密码学中应用极为普遍。RSA、ElGamal、DH交换等重要密码方案中都涉及模幂运算。

欧几里得算法是初等数论中的一个基本算法，也是密码学中最常用的算法之一，利用辗转相除法求得两个给定整数a、b的最大公约数。