【O(n)时间复杂度】递推公式的时间复杂度T(n)=T(n-1)+n

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设某算法的递推公式是T(n)=T(n-1)+n,T(0)=1,则求该算法中第n项的时间复杂度为()

T(n)=T(n-1)+O(1)的时间复杂度:


 

设某算法的递推公式是T(n)=T(n-1)+n,T(0)=1,则求该算法中第n项的时间复杂度为()

A .O(n)

B .(n^2)

C.(nlogn)

D(logn)

答案:B

解析:

该算法的递推公式为T(n) = T(n-1) + n,其中T(0) = 1。可以通过展开递推公式来求解时间复杂度:

T(n) = T(n-1) + n

     = [T(n-2) + (n-1)] + n

     = T(n-2) + (n-1) + n

     = [T(n-3) + (n-2)] + (n-1) + n

     = T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n

     ...

     = T(0) + 1 + 2 + ... + (n-1) + n

 

因此,第n项的时间复杂度为O(n^2),即二次方级别的复杂度。

 

这里还有一道类似的题目:

T(n)=T(n-1)+O(1)的时间复杂度:

 

T(n) = T(n-1) + O(1)的递推公式表示每次递归调用的时间复杂度都是O(1),因此可以得到:

T(n) = T(n-1) + O(1)
     = T(n-2) + O(1) + O(1)
     = T(n-3) + O(1) + O(1) + O(1)
     ...
     = T(0) + n * O(1)
     = 1 + n * O(1)

因此,该算法的时间复杂度为O(n),其中n为问题规模。

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