7.3 图-最小生成树

问题：如图假设要在 n 个城市之间建立通讯联络网，则连通 n 个城市只需要修建 n-1 条线路，如何在最节省经费的前提下建立这个通讯网？

该问题等价于：构造网的一棵最小生成树，即：在 e 条带权的边中选取 n-1条 (不构成回路)，使 “权值之和” 为最小。

最小代价生成树(Minimum Cost Spanning Tree)(简称为最小生成树)。
一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。
构造最小生成树可以有多种算法。其中多数算法利用了最小生成树的下列一种简称为 $MST$ 的性质：假设 $N=(V,\{E\})$ 是一个连通网，$U$ 是顶点集 $V$ 的一个非空子集。若 $(u,v)$ 是一条具有最小权值(代价)的边，其中 $u\in U$，$v\in V-U$ ，则必存在一棵包含边 $(u,v)$ 的最小生成树。

1 普里姆算法

假设 $N=(V,\{E\})$ 是连通网，$TE$ 是 $N$ 上最小生成树中边的集合。
算法从 $U=\{u_0\}(u_0\in V)$ ，$TE=\{\}$ 开始，重复执行下述操作：在所有 $u\in U$ ，$v\in V-U$ 的边 $(u,v)\in E$ 中找一条代价最小的边 $(u_0,v_0)$ 并入集合 $TE$，同时 $v_0$ 并入 $U$，直至 $U=V$ 为止。此时 $TE$ 中必有 $n-1$ 条边，则 $T=(V,\{TE\})$ 为 $N$ 的最小生成树。

可取图中任意一个顶点v作为生成树的根，之后若要往生成树上添加顶点w，则在顶点v和顶点w之间必定存在一条边，并且该边的权值在所有连通顶点v和w之间的边中取值最小。
一般情况下，假设n个顶点分成两个集合：U (包含已落在生成树上的顶点)和 V-U (尚未落在生成树上的顶点)，则在所有连通U中顶点和V-U中顶点的边中选取权值最小的边。

假设以二维数组表示网的邻接矩阵，且令两个顶点之间不存在的边的权值为机内允许的最大值(INT_MAX)，则普里姆算法如下所示：

//此代码图的存储结构采用的是邻接矩阵
void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G, VertexType u){
	//用普里姆算法从第u个顶点出发构造网G的最小生成树T,输出T的各条边。
	//记录从顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义:
	//struct {
	//	VertexType adjvex;
	//	VRType lowcost;
	//}closedge[MAX_VERTEX_NUM];
	k = LocateVex(G, u);
	for(j=0; j<G.vexnum; ++j){ //辅助数组初始化
		if(j!=k){
			closedge[j] = {u, G.arc[k][i].adj}; //{adjvex, lowcost}
		}
	}
	closedge[k].lowcost = 0; //初始 U = {u}
	for(i=1; i<G.vexnum; ++i){ //选择其余G.vexnum-1个顶点
		k = minimum(closedge); //求出T的下一个结点;第k顶点

		//此时 closedge[k].lowcost = MIN{closedge[vi].lowcost | closedge[vi].lowcost>0, vi 属于 V-U )
		printf(closedge[k].adjvex, G.vexs[k]); //输出生成树的边
		closedge[k].lowcost = 0; //第k顶点并入U集

		for(j=0; j<G.vexnum; ++j){
			if(G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost){ //新顶点并入U后重新选择最小边
				closedge[j] = {G.vexs[k], G.arcs[k][j].adj};
			}
		}
	}
} //MiniSpanTree_PRIM

2 克鲁斯卡尔算法

假设连通网 $N=(V,\{E\})$ ，则令最小生成树的初始状态为只有 $n$ 个顶点而无边的非连通图 $T=(V,\{\})$ ，图中每个顶点自成一个连通分量。在 $E$ 中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在 $T$ 中不同的连通分量上，则将此边加入到 $T$ 中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至 $T$ 中所有顶点都在同一连通分量上为止。

为使生成树上边的权值之和最小，显然，其中每一条边的权值应该尽可能地小。克鲁斯卡尔算法的做法就是：先构造一个只含 n 个顶点的子图 SG ，然后从权值最小的边开始，若它的添加不使 SG 中产生回路，则在 SG 上加上这条边，如此重复，直至加上 n-1 条边内止。

算法：
构造非连通图 $ST=(V,\{\});$
        k=i=0;
        while(k                 ++i;
                //从边集E中选取第i条权值最小的边(u,v);
                //若(u,v)加入ST后不使ST中产生回路,
                //则输出边(u,v)，且k++;
        }

假设连通网 $N=(V,\{E\})$ ，则令最小生成树的初始状态为只有 n 个顶点而无边的非连通图 $T=(V,\{\})$ ，图中每个顶点自成一个连通分量。在 $E$ 中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加人到 $T$ 中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至 $T$ 中所有顶点都在同一连通分量上为止。

由于普里姆算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，则适于稠密图；
克鲁斯卡尔算法需对 e 条边按权值进行排序，其时间复杂度为 $O(elo{g}_{2}e)$，则适于稀疏图.

3 重(双)连通图和关节点

问题：若从一个连通图中删去任何一个顶点及其相关联的边，它仍为一个连通图的话，则该连通图被称为重(双)连通图。

若连通图中的某个顶点和其相关联的边被删去之后，该连通图被分割成两个或两个以上的连通分量，则称此顶点为关节点。

没有关节点的连通图为重(双)连通图。

关节点的特征：
假设从某个顶点 $V_0$ 出发对连通图进行深度优先搜索遍历，则可得到一棵深度优先生成树，树上包含图的所有顶点。

若生成树的根结点，有两个或两个以上的分支，则此顶点(生成树的根)必为关节点；
对生成树上的任意一个“顶点”，若其某棵子树的根或子树中的其它“顶点”没有和其祖先相通的回边，则该“顶点”必为关节点。

4 两点之间的最短路径问题

4.1 源点到其余各点的最短路径

4.2 每一对顶点之间的最短路径

5 拓扑排序

6 关键路径

待处理

——《数据结构图 (C语言版) 严蔚敏》 学习笔记