LeetCode 面试题 16.17. 连续数列

一、题目

  给定一个整数数组，找出总和最大的连续数列，并返回总和。

示例：

输入： [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出： 6
解释： 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

进阶：

• 如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

  点击此处跳转题目。

二、C# 题解

  使用动态规划可以实现 O(n) 的复杂度。使用 max 记录以 j 结尾的最大连续和，其递推关系为：

$$max[j]=MAX\{\begin{array}{ll}max[j-1]+nums[j],& nums[j]>0\\ max[j-1],& nums[j]\le 0\\ nums[j],& max[j-1]<0\end{array}$$

  每次纳入 nums[j] 并考虑：

• max < 0，则直接从 j 开始就好，即设置 max = 0。因为算上前面的序列，和只会更小。
• max += nums[j]，与 ans 比较，ans 结果取最大值。

  理论上需要开辟一个 O(n) 数组存储 max，但是由于只需要求 max 的最大值 ans，因此可以边计算边更新 ans，省去了 O(n) 的空间。

public class Solution {
	public int MaxSubArray(int[] nums) {
        int ans = nums[0], max = ans;

        for (var j = 1; j < nums.Length; j++) {
            if (max < 0) max = 0;     // 先前的序列如果 < 0，则直接抛弃，从第 j 位开始重新计数
            max += nums[j];           // 并入第 j 位
            if (max > ans) ans = max; // 更新结果
        }

        return ans;
    }
}

• 时间：84 ms，击败 61.11% 使用 C# 的用户
• 内存：38.23 MB，击败 77.78% 使用 C# 的用户

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  使用分治可以实现 O(logn) 的复杂度。将数组 nums 一分为二，记为 left 和 right。则 nums 的答案 Max 可能有如下 3 中情况：

1. 在 left 中。
   
2. 在 right 中。
   
3. 在 left 和 right 交界处。
   

  因此，需要记录区间的左端最大连续和 LMax（红色） 与右端最大连续和 RMax（黄色），其对应的更新情况如下：

• LMax：
  
• RMax：
  
    同时，使用 Sum（绿色）记录区间的总长度。

public class Solution {
    public struct Range
    {
        public int LMax; // 从左端开始的最长连续和
        public int RMax; // 以右端结尾的最长连续和
        public int Sum;  // 区间总和
        public int Max;  // 区间内最长连续和

        public Range(int l, int r, int s, int m) {
            LMax = l;
            RMax = r;
            Sum = s;
            Max = m;
        }

        public static Range operator +(Range left, Range right) {
            int lMax = Math.Max(left.LMax, left.Sum + right.LMax);
            int rMax = Math.Max(right.RMax, left.RMax + right.Sum);
            int sum  = left.Sum + right.Sum;
            int max  = Math.Max(Math.Max(left.Max, right.Max), left.RMax + right.LMax);
            return new Range(lMax, rMax, sum, max);
        }
    }

    public int MaxSubArray(int[] nums) {
        return Partition(nums, 0, nums.Length - 1).Max;
    }

    public Range Partition(int[] nums, int i, int j) {
        if (i == j) return new Range(nums[i], nums[i], nums[i], nums[i]);
        int mid = (i + j) >> 1;
        return Partition(nums, i, mid) + Partition(nums, mid + 1, j);
    }
}

• 时间：76 ms，击败 94.44% 使用 C# 的用户
• 内存：38.25 MB，击败 77.78% 使用 C# 的用户