12 _ 排序（下）：如何用快排思想在O(n)内查找第K大元素？

上一节我讲了冒泡排序、插入排序、选择排序这三种排序算法，它们的时间复杂度都是O(n²)，比较高，适合小规模数据的排序。这里会介绍两种时间复杂度为O(nlogn)的排序算法，归并排序和快速排序。这两种排序算法适合大规模的数据排序，比上一节讲的那三种排序算法要更常用。

归并排序和快速排序都用到了分治思想，非常巧妙。乃至于，我们可以借鉴这个思想，来解决非排序的问题，比如：如何在O(n)的时间复杂度内查找一个无序数组中的第K大元素？ 这就要用到我们今天要讲的内容。

归并排序的原理

我们先来看归并排序（Merge Sort）。

归并排序的核心思想还是蛮简单的。如果要排序一个数组，我们先把数组从中间分成前后两部分，然后对前后两部分分别排序，再将排好序的两部分合并在一起，这样整个数组就都有序了。

归并排序使用的就是分治思想。分治，顾名思义，就是分而治之，将一个大问题分解成小的子问题来解决。小的子问题解决了，大问题也就解决了。

从我刚才的描述，你有没有感觉到，分治思想跟我们前面讲的递归思想很像。是的，分治算法一般都是用递归来实现的。分治是一种解决问题的处理思想，递归是一种编程技巧，这两者并不冲突。分治算法的思想我后面会有专门的一节来讲，现在不展开讨论，我们今天的重点还是排序算法。

前面我通过举例让你对归并有了一个感性的认识，又告诉你，归并排序用的是分治思想，可以用递归来实现。我们现在就来看看如何用递归代码来实现归并排序。

写递归代码的技巧就是，分析得出递推公式，然后找到终止条件，最后将递推公式翻译成递归代码。所以，要想写出归并排序的代码，我们先写出归并排序的递推公式。

递推公式：
merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))

终止条件：
p >= r 不用再继续分解

我来解释一下这个递推公式。

merge_sort(p…r)表示，给下标从p到r之间的数组排序。我们将这个排序问题转化为了两个子问题，merge_sort(p…q)和merge_sort(q+1…r)，其中下标q等于p和r的中间位置，也就是(p+r)/2。当下标从p到q和从q+1到r这两个子数组都排好序之后，我们再将两个有序的子数组合并在一起，这样下标从p到r之间的数据就也排好序了。

有了递推公式，转化成代码就简单多了。为了阅读方便，我这里只给出伪代码，你可以翻译成你熟悉的编程语言。

// 归并排序算法, A是数组，n表示数组大小
merge_sort(A, n) {
  merge_sort_c(A, 0, n-1)
}

// 递归调用函数
merge_sort_c(A, p, r) {
  // 递归终止条件
  if p >= r  then return

  // 取p到r之间的中间位置q
  q = (p+r) / 2
  // 分治递归
  merge_sort_c(A, p, q)
  merge_sort_c(A, q+1, r)
  // 将A[p...q]和A[q+1...r]合并为A[p...r]
  merge(A[p...r], A[p...q], A[q+1...r])
}

你可能已经发现了，merge(A[p...r], A[p...q], A[q+1...r])这个函数的作用就是，将已经有序的A[p...q]和A[q+1....r]合并成一个有序的数组，并且放入A[p....r]。那这个过程具体该如何做呢？

如图所示，我们申请一个临时数组tmp，大小与A[p...r]相同。我们用两个游标i和j，分别指向A[p...q]和A[q+1...r]的第一个元素。比较这两个元素A[i]和A[j]，如果A[i]<=A[j]，我们就把A[i]放入到临时数组tmp，并且i后移一位，否则将A[j]放入到数组tmp，j后移一位。

继续上述比较过程，直到其中一个子数组中的所有数据都放入临时数组中，再把另一个数组中的数据依次加入到临时数组的末尾，这个时候，临时数组中存储的就是两个子数组合并之后的结果了。最后再把临时数组tmp中的数据拷贝到原数组A[p...r]中。