算法设计与分析实验---动态规划
1.石子合并
任务描述
沿着河岸摆放 N 堆石子，现要将石子有次序地合并成一堆，规定每次只能选相邻的 2 堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。 例如:4堆石子4,5,9,4，可以按(((4,5),9),4)合并。
- 第一次合并得分是
9分，合并之后石子堆是9,9,4 - 第二次合并得分是
18分，合并之后石子堆是18,4 - 第三次合并得分是
22分，合并之后石子堆是22 - 三次合并总得分
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试设计出一个算法,计算出将 N 堆石子合并成 1堆的最小得分和最大得分。
测试说明
输入格式
数据的第 1行是正整数 N，表示有N 堆石子。
第 2行有 N 个整数，第i 个整数 ai 表示第i 堆石子的个数。
输出格式
输出共 2 行，第 1 行为最小得分，第 2行为最大得分。
样例输入
4 4 5 9 4
样例输出
44 54
提示
1≤N≤100，0≤ai≤20。
思路：
例如:4堆石子4,5,9,4
要知道从开头4合并到最后4的最小代价，就需要知道从4合并到9的最小代价再合并最后一个4.....由此知道递推关系：
dpmin[i][j] = min(dpmin[i][j], dpmin[i][k] + dpmin[k + 1][j] + sum*[i->j]);
其中d[i][j]表示把第i到j堆合并成一堆的最小代价，sum*[i->j]表示第i到第j堆的石子数量之和。
由转移方程，可以看出要按照长度j－i进行迭代求解。
dpmax也是一样，只是把每次找最小值改为每次取最大值。
注：主函数中数组是从1开始存的不是0！！！
代码：
#include
#include
using namespace std;
//在主函数中数组下标是从1开始的
void dpStone(int a[],int n)
{
/********** Begin **********/
//补充代码完成功能
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int dpmin[100][100], sum[100], dpmax[100][100];
dpmin[n][n] = { {0} };//将数组初始化
dpmax[n][n] = { {0} };
sum[n] = { 0 };
sum[1] = a[1];//设置第一个石子数量
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
sum[i] = sum[i - 1] + a[i];//存从1到i的石子数量和
}
for (int v = 1; v <= n; v++) // 表示i到j的间距
{
for (int i = 1; i <= n - v; i++)//i表示行
{
int j = i + v;//j表示列
int temp = sum[j] - (i > 1 ? sum[i - 1] : 0);
//i=1的时候，sum取0，temp为从i-1到j的石子数量和
dpmin[i][j] = INF;//将此处的dp设置为无穷大，便于下面找最小值时使用
//dpmax不用设置，因为是求最大值，与0相比即可
for (int k = i; k < j; k++)
{
dpmin[i][j] = min(dpmin[i][j], dpmin[i][k] + dpmin[k + 1][j] + temp);
//比较不同分段方式取最小值
dpmax[i][j] = max(dpmax[i][j], dpmax[i][k] + dpmax[k + 1][j] + temp);
//比较不同分段方式取最大值
}
}
}
printf("%d\n%d", dpmin[1][n], dpmax[1][n]);
/********** End **********/
}
int main()
{
int n;
int a[105];
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> a[i];
dpStone(a, n);
return 0;
} 可参考博客：http://t.csdn.cn/H0MBg
2.基因检测
任务描述
本关任务：找出两个串的最长公共子串的长度。
用一个字符串表示一段基因，例如：CTATGGGTTT。两段基因的相似度定义为它们所包含的最大公共子串的长度。
例如：CCTTGG和TGGGC的最大公共子串为TGG，它的长度为3，则我们称CCTTGG和TGGGC的相似度为3。 现给定两段基因，要求计算它们的相似度。
编程要求
在右侧编辑器中有一个函数Similar，它有两个参数str1，str2，是两个字符串，长度不超过50。
请你在这个函数中，计算并输出这两个字符串的相似度。
输入数据由评测系统读取，并传递给Similar函数。具体见测试说明。
测试说明
平台会对你编写的代码进行测试：
测试输入： CCCCC TTTTTGGGGGCC 预期输出： 2
测试输入： ACTGGG DDD 预期输出： 0
思路：
dp[i][j]存从主串1-i和子串1-j的最长公共子串的长度
dp[i][j] =dp[i - 1][j - 1] + 1,str1[i]=str2[j]
dp[i][j]=0,str1[i]!=str2[j]
代码：
#include
#include
using namespace std;
void Similar(char *str1,char *str2)
{
/********** Begin **********/
//补充代码完成任务
int dp[50][50];//dp[i][j]存从主串1-i和子串1-j的最长公共子串的长度
int i = 0, j = 0;
int max = 0, zichuan = 0;
while (str2[j] != '\0')
{
i = 0;
while (str1[i] != '\0')
{
if (str1[i] == str2[j])
{
dp[i][j] = (i >= 1 && j >= 1) ? dp[i - 1][j - 1] + 1 : 1;//数组从0开始的，防止数组越界
}
else
dp[i][j] = 0;
if (dp[i][j] > max)//更新最大值
max = dp[i][j];
i++;
}
j++;
}
cout << max << endl;
return;
/********** End **********/
}
int main()
{
char str1[55],str2[55];
while(cin >> str1 >> str2)
Similar(str1,str2);
} 第3关：药剂稀释
任务描述
本关任务：找出一个序列中的最长下降子序列其中的元素个数。
医院里有一种药剂，其可以稀释成不同的浓度供病人使用，并且对于已知浓度的该药剂，使用时只能稀释不能增加浓度。
由于这种药需求量较大，同一瓶药剂只能给某个病人以及排在他后面的若干人使用。不同的病人对药物的浓度要求可能不同。
现在为了最大限度的利用每一瓶药剂（不考虑容量），已知n个病人所需药物浓度的序列，请计算出一瓶药剂能最多使用的人数。
编程要求
在右侧编辑器中有一个函数Cal，它有两个参数arr和n。
arr中包含n个病人对药物浓度的要求。
请你在这个函数中补充代码，计算并输出一瓶药剂能最多使用的人数。
输入数据由评测系统读取，并传递给Cal函数。具体见测试说明。
测试说明
平台会对你编写的代码进行测试：
测试输入： 6 0.7 0.9 0.6 0.8 0.8 0.4
预期输出： 4
每组输入有两行，第一行有一个数n，第二行的n个数为数组的内容。
思路：
要知道0.7可用的病人，就要找浓度比0.7小的0.6可用的病人...即找到最后一种浓度0.4能用的病人只能为1后，在向上找0.8...等所能用的病人数
注,一种药剂最少一个人使用，且药剂稀释后不能增加浓度，且只能给后面的病人使用
得dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1),arr[j]
代码：
#include
#include
using namespace std;
void Cal(double arr[],int n)
{
/********** Begin **********/
//补充代码完成任务
int dp[105];//dp存以该药物为首可用的病人数
for (int i = 0; i < n; i++)
dp[i] = 1;
int dan = 0;
for (int i = n-2; i >=0; i--)//i为dp数组下标，j为arr下标
{
for (int j = n - 1; j > i; j--)
{
if (arr[i] >= arr[j])
{
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
}
for (int i = 0; i < n; i++)
dan = max(dan, dp[i]);
cout << dan << endl;
/********** End **********/
}
int main()
{
double arr[105];
int n;
while(cin >> n)
{
for(int i=0; i> arr[i];
Cal(arr,n);
}
return 0;
}
第4关：找相似串
任务描述
本关任务：找出最接近的相似串。
一般情况下，度量两个串S1和S2的相似性，可以通过从一个串变换成另一个串所需要的最少操作次数来衡量，需要的操作次数越少，则越相似。
假设从一个串变化成另一个串所允许的操作只有两种：插入一个字符或者删除一个字符。无论是插入还是删除一个符号，均算作一次操作。
现给你一个串S，和一个串的集合T，让你找出集合T中与S最相似的串。
编程要求
右侧编辑器中有一个函数Similar，请在这个函数中读取数据完成任务。
输入数据由学员处理。输入的第一行为一个串S，第二行是一个整数n，范围0 < n < 20，表示接下来集合T中的串的个数。接下来n行，每行为一个串。
注：所有字符串的长度不超过50。
请输出T中与S最相似的串，如果有多个就输出多个串（按照输入时的顺序），每个串占一行。具体见测试说明。
测试说明
平台会对你编写的代码进行测试：
测试输入： abcd 4 abd abdc abed aebcd
预期输出： abd aebcd
提示： 对于第一个串abd，在b后插入一个c就可以变成abcd，操作次数为1次。 第二个串abdc，删除d后面的c，在d前面增加一个c，即可变成abcd，操作次数为2次。 第三个串abed，删除d前面的e，在d前面增加一个c，即可变成abcd，操作次数为2次。 第四个串aebcd，删除a后面的e即可变成abcd，操作次数为1次
算法思路
对一个子串来说:
当i = 0时，dp[0][j] = j;
当j = 0时，dp[i][0] = i;
当a[i] == b[j]时，dp[i][j] = d[i-1][j-1];
当a[i] != b[j]时，有两种操作，要么删除一个串的字符，要么添加一个串的字符，都记为一次操作，dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1
代码：
#include
#include
using namespace std;
const int MAX = 50;
void Similar()
{
/********** Begin **********/
//补充代码完成功能
char s[MAX];
int n,end;
cin >> s>>n;//读取主串和子串个数
int len_s = strlen(s);
char arr[20][MAX];
int caozuo[20];//存操作次数
int dp[MAX][MAX];//用数组dp[i][j]表示，子串从1-i转换到主串的操作数。
for (int i = 0; i < n; i++)//读取子串
{
cin>>arr[i];
}
for (int i = 0; i < len_s; i++)
{
dp[0][i] = i;
}
for (int k = 0; k < n; k++)//第k个子串
{
int len = strlen(arr[k]);//子串长度
//初始化
for (int j = 0; j < len; j++)
dp[j][0] = j;
for (int i = 1; i < len_s; i++)//i为主串下标
{
for (int j = 1; j < len; j++)//j为子串下标
{
if (s[i] == arr[k][j])
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
else
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
}
}
caozuo[k] = dp[len_s-1][len-1];//存每个子串的最小操作数
}
end = caozuo[0];
for (int i = 1; i < n; i++)
end = min(end, caozuo[i]);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (caozuo[i] == end)
cout << arr[i] << endl;
}
/********** End **********/
}
int main()
{
Similar();
}
第5关：聪明的寻宝人
任务描述
本关任务：计算寻宝人所能带走的宝物的最大价值。
一个寻宝人在沙漠中发现一处神秘的宝藏，宝藏中共有n个宝物（n不超过20），每个宝物的重量不同，价值也不同，宝物i的重量是wi，其价值为vi。
寻宝人所能拿走的宝物的总重量为m（m不超过50）。请帮助寻宝人写一个程序，计算寻宝人能够获得的最大总价值。
编程要求
在右侧编辑器中有一个函数MaxValue，它有四个参数values，weights，n，m。
values和weights分别存放了n件宝物的价值和重量，m为寻宝人所能携带的最大重量。
请在这个函数中补充代码，计算并输出寻宝人所能获得的最大总价值。
输入数据由评测系统读取，并传递给MaxValue函数。具体见测试说明。
测试说明
平台会对你编写的代码进行测试：
测试输入： 3 10 3 4 4 5 5 6
预期输出： 11
每组输入有多行，第一行有两个数n和m，分别为宝石数量和寻宝人载重。下面有n行数据，每一行有两个数，分别是宝石重量和宝石价值。
思路：
是一个0-1背包问题
0-1背包问题参考博客：http://t.csdn.cn/hIcEL
代码：
#include
using namespace std;
void MaxValue(int values[],int weights[],int n,int m)
{
/********** Begin **********/
//补充代码完成任务
int dp[30][30];//
for (int i = 0; i < 30; i++)
{
dp[0][i] = 0;
dp[i][0] = 0;
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
if (j >= weights[i])
{
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i - 1][j - weights[i]] + values[i]);
}
else
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
cout << dp[n][m] << endl;
/********** End **********/
}
int main()
{
int vs[30],ws[30],n,m;
while(cin >> n >> m)
{
for(int s =1;s <= n;s++)
cin >> ws[s] >> vs[s];
MaxValue(vs,ws,n,m);
}
}
以上为个人见解，有问题还请指正