算法理论笔记

最优化方法

1. 微分方法
   根据极值必要条件，求$f^{\prime }(x)=0$的根

2. 梯度下降法
   $设参数为w，当前点的梯度为\frac{\partial L}{\partial w}，学习率为\eta ，则$
   $w=w-\eta \frac{\partial L}{\partial w}$
   往梯度的负方向走来迭代求根，即极小值点(正方向即为极大值点)

   1. 批量梯度下降法 BGD

      每次迭代利用所有的样本计算梯度

   2. 随机梯度下降法 SGD

      每次迭代利用一个样本计算梯度

   3. 小批量梯度下降法 MBGB

   每次迭代利用部分样本计算梯度

   缺点：如果梯度没有指向极值点，那么搜索效率就会很低（在等高线上呈“之”字形移动）

3. 梯度下降法的改造

   1. Momentum
      $设冲量(速度)为\nu ，冲量系数为\alpha （相当于摩擦力或阻力），则$
      $v=\alpha v-\eta \frac{\partial L}{\partial w}$
      w = w + v
      每个参数都有一个对应的v值，v初始值可以赋0

   越是一直往梯度的某个方向上前进，则在该方向上的速度越快（前进距离越多），比如在梯度的某个方向上一直是正数，则迭代时在该方向上前进的距离越多。相反则正反方向抵消，前进的距离越小。

   2. AdaGrad
      $h=h+\frac{\partial L}{\partial w}\ast \frac{\partial L}{\partial w}矩阵对应位置相乘$
      $w=w-\frac{1}{\sqrt{h}}\eta \frac{\partial L}{\partial w}$
      h记录了随着迭代，每个参数对应偏导数的平方和，即梯度的每个数值的平方和。
      每个参数都有一个对应的h值，h初始值可以赋0

   与梯度下降相比，多了一个系数来调整学习率的值。随着迭代，某一个参数对应的偏导数(即梯度中对应的分量)越大，则该参数的学习率越小。一般来说，随着迭代，h的值越大越大，所以参数的学习率也就会越来越小

   3. RMSProp
      $h=ah+(1-a)\frac{\partial L}{\partial w}\ast \frac{\partial L}{\partial w}矩阵对应位置相乘$
      $w=w-\frac{1}{\sqrt{h}}\eta \frac{\partial L}{\partial w}$

   AdaGrad的改良版，越接近当前期的梯度平方和权重越大，越之前的则越小。实际上就是指数平滑，让梯度平方和的权重呈指数衰减

   4. Adam

      结合了Momentum和RMSProp算法，通常会有比较好的效果

4. 牛顿法
   求f(x)导数的一阶泰勒展开(切线)=0的根，以迭代的方法近似求f(x)导数=0的根

   • 前提

     1. 任何一点二阶可微（任何一点的二阶偏导数连续）
     2. 一元函数二阶导数 > 0，函数为凹函数
        多元函数海森矩阵正定（正定即对角线元素>0，即各维度的二阶偏导数>0，各维度为凹函数）
        凹函数保证极值点只有一点，且为极小值点，且为最小值点，即局部最优点就是全局最优点

   • 优点

     1. 考虑了二阶导数的信息（一阶导数的变化率），二次收敛，收敛速度快（二次函数只需要一步）

   • 缺点

     1. 需要计算海森矩阵和其逆矩阵，计算量大
     2. 海森矩阵规模为N方，当N很大时，海森矩阵变得很大
     3. 受初始点影响大
        • 驻点，$f^{\prime \prime }(x)$=0，分母不能为0
        • $f^{\prime }(x)=x^{\frac{1}{3}}$，迭代的x点越来越远离0
        • $f^{\prime }(x)=|x{|}^{\frac{1}{2}}$，迭代的点不断地循环震荡
     • 有多个极值的函数f(x)，即$f^{\prime }(x)$有多个零点，根据初始值不同，会收敛到不同的极值点

5. 拟牛顿法
   满足拟牛顿条件下，求一个正定矩阵作为海森矩阵的近似，避免直接求海森矩阵

   1. DFP算法

      通过迭代的方式构造D矩阵作为海森矩阵的逆矩阵的近似矩阵

      D k + 1 = D k + Δ D K = D k + α u u T + β