暗通道先验去雾《Single Image Haze Removal Using Dark Channel Prior》

 本文讲讲何恺明大神的论文里主要公式的推导，基于暗通道先验的单图像去雾算法：
 《Single Image Haze Removal Using Dark Channel Prior》–09年CVPR最佳论文
 论文下载地址：点击进入
 去雾效果：

 首先作者是统计了五千多副图像的特征，验证了暗通道先验理论的普遍性。

暗通道先验：

 在绝大多数的非天空图像区域中，一些像素总会有至少一个颜色通道具有很低的值。
 暗通道的数学定义如下：

 式中Jc表示彩色图像的每个通道 ，Ω(x)表示以像素X为中心的一个窗口。

 公式含义：对图像做最小值滤波，然后求出每个像素在RGB通道分量中的最小值，存入到一副和原始图像大小相同的的灰度图中。
 暗通道先验理论指出： Jdark趋于0

雾形成模型：

 在计算机视觉和计算机图形领域，一个常用来描述有雾图像的公式表达为：

 其中， I 表示有雾图像， J 是要恢复的无雾的图像， A 是全球大气光成分，t(x)为透射率。
 对这个式子，本身的理解，大气光成分和图像中的景物本身就是真实存在的。晴天和雾天的区别只是大气光成分的多少，表达在这个式子里就是透射率。晴天的时候大气光成分少，物体反射光的透射率很高，几乎让人感受不到大气光成分的存在。雾天则相反。

使用暗通道先验的去雾算法推导：

 假设A已知（后面会说怎么求）。进一步假设每个滤波窗口内的投射率t(x)为常数，记作t(x)（上面有个波浪线）。
 对上式两边取最小值，（即最小值滤波）：

 两边同除A，得：

 两边再对像素在RGB通道方向取最小值，得：

 暗通道先验理论指出：

 因为A为正数：

 将其代入上式得：

 前面提及了，暗通道先验是对于非天空区域的，那么对于天空区域来说，这可能不是一个好的先验。幸运的是，天空的颜色和大气光成分A相似.
所以在天空区域我们有下式：

 所以，上面推导出的t(x)（上面有波浪线），能够处理非天空区域和天空区域。
 同时，即使是晴天，大气光成分还是存在的，尤其是在看远处的物体时给人的感觉更强。这种大气光成分会给人一种景深的层次感，去雾要有所保留不要去地太彻底。
 因此，引入一个常量参数 ω (0<ω<1)用来控制去雾的程度：

 作者文中用的w=0.95。
 前面我们假设 A 是已知，那么这里讲下具体A如何求得。我们可以借助于暗通道图来从有雾图像中获取该值。

具体步骤如下：

1. 从暗通道图中按照亮度的大小取前0.1%的像素。
2. 在这些位置中，在原始有雾图像I中寻找对应的具有最高亮度的点的值，作为A值。

 至此，透射率 t(x)，大气光成分 A ，雾图 I，都是已知了，就可以求解出去雾图：
最后的公式：

 其中，t0为透射率下界，由于在计算时，若透射率趋近于0，那么由上面第二个公式可知：J(x)t(x)也趋近于0。这时不就丢失了原图J(x)的信息，容易引入噪声。所以设置一个下界。在雾密度很大的地方，保留一定数量的雾，t0的典型值为0.1。
同时在去雾后，图像看起来会比较暗淡，可以适当增加曝光度以得到更好的效果。

 
 
 

各参数对去雾结果的影响:

1. 窗口的大小。这个对结果来说是个关键的参数，窗口越大，其包含暗通道的概率越大，暗通道也就越黑。建议是窗口大小在11-51之间，即半径在5-25之间。
2. ω也有着明显的意义，其值越小，即透射率t越大（即雾越多）。去雾效果越不明显。