DAY46 139.单词拆分 + 多重背包 + 背包问题总结篇

139.单词拆分

题目要求：给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词的列表 wordDict，判定 s 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

说明：

拆分时可以重复使用字典中的单词。

你可以假设字典中没有重复的单词。

思路

完全背包，把非空字符串s作为背包容量，wordDict表示物品，单词可以在字符串中出现多次。

dp[i]表示，字符串s的前“i”位置能否由wordDict中的单词组成，bool类型的数组，初始化数组都初始成false。

状态转移方程，如果dp[i]已经是true了就可以跳出内层循环。只有当dp[i-wordDict[j]] == True的时候，再判断差的字符能是否等于wordDict[j]，相等则dp[i] = True，然后跳出内层循环。

class Solution {
public:
    bool wordBreak(string s, vector& wordDict) {
        vector dp(s.size() + 1, false);
        dp[0] = true;
        for (int i = 1; i <= s.size(); ++i) {
            for (int j = 0; j < wordDict.size(); ++j) {
                if (i >= wordDict[j].size() && dp[i - wordDict[j].size()] == true) {
                    if (s.substr(i - wordDict[j].size(), wordDict[j].size()) == wordDict[j]) {
                        dp[i] = true;
                        break;
                    }
                }
            }
        }
        return dp[s.size()];
    }
};

• 时间复杂度：O(n^3)，因为substr返回子串的副本是O(n)的复杂度（这里的n是substring的长度）
• 空间复杂度：O(n)

总结：需要注意一下字符串操作中substr的写法。

多重背包

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包和01背包是非常像的， 为什么和01背包像呢？

每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。

例如：

背包最大重量为10。

物品为：

	重量	价值	数量
物品0	1	15	2
物品1	3	20	3
物品2	4	30	2

问背包能背的物品最大价值是多少？

和如下情况有区别么？

重量	价值	数量
物品0	1	15	1
物品0	1	15	1
物品1	3	20	1
物品1	3	20	1
物品1	3	20	1
物品2	4	30	1
物品2	4	30	1

毫无区别，这就转成了一个01背包问题了，且每个物品只用一次。

这种方式来实现多重背包的代码如下：

void test_multi_pack() {
    vector weight = {1, 3, 4};
    vector value = {15, 20, 30};
    vector nums = {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        while (nums[i] > 1) { // nums[i]保留到1，把其他物品都展开
            weight.push_back(weight[i]);
            value.push_back(value[i]);
            nums[i]--;
        }
    }

    vector dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
            cout << dp[j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;

}
int main() {
    test_multi_pack();
}

• 时间复杂度：O(m × n × k)，m：物品种类个数，n背包容量，k单类物品数量

也有另一种实现方式，就是把每种商品遍历的个数放在01背包里面在遍历一遍。

代码如下：（详看注释）

void test_multi_pack() {
    vector weight = {1, 3, 4};
    vector value = {15, 20, 30};
    vector nums = {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;
    vector dp(bagWeight + 1, 0);


    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            // 以上为01背包，然后加一个遍历个数
            for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
            }
        }
        // 打印一下dp数组
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
            cout << dp[j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_multi_pack();
}

• 时间复杂度：O(m × n × k)，m：物品种类个数，n背包容量，k单类物品数量

从代码里可以看出是01背包里面在加一个for循环遍历一个每种商品的数量。 和01背包还是如出一辙的。

当然还有那种二进制优化的方法，其实就是把每种物品的数量，打包成一个个独立的包。

背包问题总结篇

关于这几种常见的背包，其关系如下：

通过这个图，可以很清晰分清这几种常见背包之间的关系。

在讲解背包问题的时候，我们都是按照如下五部来逐步分析，相信大家也体会到，把这五部都搞透了，算是对动规来理解深入了。

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

背包递推公式

• 问能否能装满背包（或者最多装多少）：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); 
• 问装满背包有几种方法：dp[j] += dp[j - nums[i]];
• 问背包装满最大价值：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
• 问装满背包所有物品的最小个数：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

遍历顺序

01背包

• 二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

• 一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。

  一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维dp数组实现的01背包其实是有很大差异的，大家需要注意！

完全背包

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

如果求最小数，那么两层for循环的先后顺序就无所谓了。

这个图是 代码随想录知识星球 (opens new window)成员：海螺人 (opens new window)，所画结的非常好，分享给大家。

以上内容来自代码随想录：代码随想录