Unit1_3：分治算法之排序问题

一、归并排序

归并排序子操作的思路和Unit1_2逆序计算一样
下面写一下伪代码

if left < right then
	center←L(left + right)/2];
	Mergesort(A, left, center);
	Mergesort(A, center+1, right);
	“Merge” the two sorted arrays;（逆序中的排序思路）
end
else 
	return A[left]

时间复杂度：

$T(n)=\{\begin{array}{ll}2T(\frac{n}{2})+n& ifn>1\\ 1& ifn=1\end{array}$
在第一节时提及三种计算方式，最后得出复杂度为$O(nlogn)$

二、快速排序

c语言中的qsort。

思路

每次分成两份，使得$A[u]<A[q]<A[v]$   $for$   $any$     $p\le u\le q-1$    $and$    $q+1+\le v\le r$

x称为主元。
下面看思路图：
起始位置，$i=-1,j=0,p=0$

$A[j]<A[r]$时，$i$++,$A[i]=A[j]$,$j$++

下一个$A[j]>A[r]$,$j$++,下一个亦如此

走到$A[j]=1$,即$A[j]<A[r]$，应$i$++,$A[i]=A[j]$,$j$++

最终j=r时停止

将$A[i+1]$与$A[r]$调换

伪代码

Partition(A,p,r)
x ← A[r];  //A[r] is the pivot element
i ← p-1;
for j←p to r-1 do
	if A[j]≤x then
		i ← i+1;
		exchange A[i] and A[j];
	end
end
exchangeA[i+1] and A[r];//Put pivot in position
return i+1;      //q ← i+1

这个子操作的时间复杂度为$O(r-p)$
整个快速排序

Quicksort(A,p,r)
if p

流程图

时间复杂度

若总是能将数组分成两半：

$T(n)=\{\begin{array}{ll}2T(\frac{n}{2})+n& ifn>1\\ 1& ifn=1\end{array}$

$T(n)=O(nlogn)$

若最坏情况碰到不平衡分区：

$T(n)=\{\begin{array}{ll}T(n-1)+n& ifn>1\\ 1& ifn=1\end{array}$

$T(n)=O(n^2)$

改进

为了增加算法稳定性，主元采取随机选取的策略：
设$random(p,r)$是一个伪随机数生成器，它返回$p$和$r$之间的随机数。
改进算法的时间复杂度计算不难，这里不多赘述，这里用到指标变量。

三、堆排序

结构

堆本质上就是完全二叉树。除了最低层，所有层都满了。如果最低层未满，则必须将节点打包到左侧。
大顶堆满足父节点值比子节点大,小顶堆满足父节点值比子节点小。

若有$n$个元素,则树的高度$h=lo{g}_{2}n$,每次操作一层,则操作的时间复杂度为$O(logn)$
这种结构可以用数组表示(因为节点都是填满的):
    根节点位于数组位置1
    对于数组位置i中的任何元素
        左子结点位于$2i$位置。
        右子结点位于$2i+1$位置。
        父节点位于位置$\frac{i}{2}$

插入

将新元素添加到最低级别的下一个可用位置,如果违反则恢复最小堆属性
一般策略是向上渗透(或向上冒泡):如果元素的父元素大于元素，则将父元素与子元素交换。

插入的时间复杂度:最坏情况下就是树的高度,因此$T(n)=O(logn)$

提取最小值

将根节点值拿走后,将最后一个元素复制到根(即覆盖存储在那里的最小元素)

通过向下渗透(或向下冒泡)恢复min-heap属性:如果元素比它的任何一个子元素都大，那么将它与它的子元素中较小的元素交换

排序

最小元素位于堆的顶部,每次都提取根节点的最小值,然后按上述步骤恢复小顶堆的性质,重复此操作,因为有$n$个元素,因此时间复杂度$T(n)=nO(logn)=O(nlogn)$
但排序的前提是要现有一个小顶堆,因此从根节点开始根据小顶堆的性质进行替换

抽象

这和操纵系统的优先级队列一样.事实上确实可以考虑这一算法.优先级队列是一种抽象的数据结构，支持两种操作:插入和提取最小

四、比较排序总结

插入排序,归并排序,堆排序和快速排序都是基于元素比较完成.
事实上,基于元素比较的排序时间复杂度最快就是$O(nlogn)$

决策树模型

基于比较的排序本质上就是抽象成这一模型

每个叶子对应一个不同的输入顺序
为了使比较排序正确，每个排列必须作为一个叶子出现
决策树可以为任何基于比较的排序算法的执行建模,最坏情况下的运行时间=树的高度