P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程，附解释
P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
题目描述
求关于 x 的同余方程 ax≡1(modb) 的最小正整数解。
输入格式
一行，包含两个整数 a,b，用一个空格隔开。
输出格式
一个整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。
输入输出样例
输入 #1复制
3 10
输出 #1复制
7
说明/提示
数据规模与约定
- 对于 40%40% 的数据，2≤b≤1,000；
- 对于 60%60% 的数据，2≤b≤50,000,000；
- 对于 100%100% 的数据，2≤a,b≤2,000,000,000。
问题转化
题目问的是满足 axmodb=1 的最小正整数 x。（a,b是正整数）
但是不能暴力枚举 x，会超时。
把问题转化一下。观察 axmodb=1，它的实质是 ax+by=1：这里 y 是我们新引入的某个整数，并且似乎是个负数才对。这样表示是为了用扩展欧几里得算法。我们将要努力求出一组 x,y 来满足这个等式。稍微再等一下——
问题还需要转化。扩展欧几里得是用来求 ax+by=gcd(a,b) 中的未知数的，怎么牵扯到等于 11 呢？
原理是，方程 ax+by=m 有解的必要条件是 m mod gcd(a,b)=0。
这个简单证一下。
由最大公因数的定义，可知 a 是 gcd(a,b) 的倍数，且 b 是 gcd(a,b) 的倍数，
若 x,y 都是整数，就确定了 ax+by 是 gcd(a,b) 的倍数，
因为 m=ax+by，所以 m 必须是 gcd(a,b) 的倍数，
那么 m mod gcd(a,b)=0。
可得出在这道题中，方程ax+by=1 的有解的必要条件是 1 mod gcd(a,b)=0。可怜的 gcd(a,b) 只能等于 1 了。这实际上就是 a,b 互质。
扩展欧几里得
前提：知道普通欧几里得算法（辗转相除法）。
下面字母挺多，希望你耐心地慢慢地读~
我们拿到了一组 a,b。设 G=gcd(a,b)。那么目标是求出满足 ax+by=G（①） 的整数 x 与 y。其中 x 应当是满足条件的最小正整数，即答案，而 y 是辅助答案。
（注意，虽然刚刚已经证明本题的 gcd(a,b) 必然等于 1，但是扩展欧几里得算法本身过程求的是 ax+by=gcd(a,b) 的解。它正好非常适合本题，不过我们要按照它求解的过程去做）
如果我们先前已经求出了另一组数 x2,y2，它们满足这么一个式子：bx2+(a mod b)y2=G（②），则此时结合①②一定有：
ax+by=bx2+(a mod b)y2 （③）
可见，在这个“如果”实现的时候，我们的目标变成了“求出满足上式的 x 和 y”。
其中 a,b,x2,y2 都已知，x,y 待求。因为未知数比方程更多，所以没有唯一解。我们先求出一组必然存在的解，最后将在“答案处理”时转为最小解。
怎么求呢？取模运算是 a mod b=a−b×(a/b)，所以方程③实际上是：
ax+by=bx2+(a−b×(a/b))y2
⇒ax+by=bx2+ay2−b×(a/b)y2
⇒ax+by=ay2+b(x2−(a/b)y2)
看上面这个方程，一组必然存在的解出现了：
2x=y2,y=x2−(a/b)y2（④）
可见，我们只要求出2x2,y2，就能得出正确的x,y。问题是 x2,y2 怎么求。
现在我们手上是 a mod b 这两个系数，而目标是求出 x2 和 y2 满足：
b x2+(a mod b)y2=G（②）
把①和②对比一下：
ax+by=G （①）
原方程中的系数 a 变成了②中的系数 b，原方程中的系数 b 变成了②中的 a mod b 而已。
所以，把新的方程也看作 ax+by=G 的形式（只是系数 a 和 b 的具体数值改变了）。然后按照上面的一模一样下来（其实都只是推导过程），我们发现，最好有 x3,y3 来支撑 x2,y2。
再一模一样下来，我们又需要 x4,y4 来支撑 x3,y3。
……
这个递归中 a,b 不断被替代为 a mod b，这个替换方式与普通欧几里得是一样的，所以最后会出现 an=G,bn=0。
这时要直接返回了，我们需要一组 xn,yn 满足 an xn+bn yn=G（⑤）。
然而该层的 an=G,bn=0。所以只要⑤左边取 xn=1，这个方程就妥妥的成立了。
（最后一层的 yn 建议取 00。然而由于 b=0，就算返回其它数值，方程也一定成立。但这样的程序容易出错，因为 yn 在回溯时滚雪球式增长，容易数值越界。下面的代码在最后一层令 y=7，开了long long，通过了此题。）
最后一层结束后，就开始返回，直到最上层。每一层可以轻松地根据下层的 xk+1,yk+1 求出当前层的 xk,yk。
整个过程就是：以辗转相除的方式向下递进，不断缩小系数，保证会出现有确定解的最后一层。
答案处理
一个遗留问题：我们将要求出来的 x,y 仅仅保证满足 ax+by=1，而 x 不一定是最小正整数解。有可能太大，也有可能是负数。这依然可以解决，那就是，x 批量地减去或加上 b，能保证 ax+by=1，因为：
ax+by=1
ax+by+k×ba−k×ba=1
a(x+kb)+(y−ka)b=1
1.显然这并不会把方程中任何整数变成非整数。
2.“加上或减去 b”不会使 x 错过任何解。可以这么理解：
已经求出一组整数 x,y 使得ax+by=1，也就是 b1−ax=y。y 是整数，可见目前 11−ax 是 b 的倍数。
现在想改变 x 并使得方程仍然成立。已知a,b 互质，假若 x 的变化量（Δx）不是 b 的倍数，则 1−ax 的变化量（−a×Δx）也不是 b 的倍数，这会使得 1−ax 不再是 b 的倍数，则 y 不是整数了。
仅当 x 的变化量是 b 的倍数时，1−ax 能保持自己是 b 的倍数，此时就出现新的解了。
因此到最后，如果 x 太小就不断加 b 直到大于等于 0，太大则一直减 b，直到最小正整数解。也就是这么写：
x = (x % b + b) % b;//括号中取模再加，可以处理负数
题解 P1082 【同余方程】 - 学委 的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)
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