数据结构——时间复杂度&空间复杂度

1 定义

1.1 数据结构(Data structure)

是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

1.2 算法(Algorithm):

就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

1.3 时间复杂度

算法中的基本操作的执行次数，用来衡量一个算法的运行快慢

1.4 空间复杂度

衡量一个算法运行所需要的额外空间

1.5 大O渐进法

估算大概的执行次数
大O符号：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶
O(1)表示执行次数是常数次，不是1次

2 练习

二分查找

// 二分查找
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n;
while (begin < end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid;
else
return mid;
}
return -1;
}

时间复杂度：
最好情况：一次找到，O(n)
最坏情况：找的数没在数组中，找了x次说明除了x个2，2^x=N，x=log₂N，O(log₂n)

阶乘递归

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}

递归算法：递归次数*每次递归调用的次数
递归，一共执行了N次，O(n)

斐波那契算法

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
	if(N < 3)
		return 1;
	return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

时间复杂度：每次递归调用的次数=常数，递归次数=2ⁿ-1-x(等比)，时间复杂度=O((2ⁿ-1-x)*1)=O(2ⁿ)
空间复杂度：O(n)，空间是可以重复利用的

冒泡排序

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i-1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i-1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

空间复杂度：开辟了常数个变量，内层循环的i只开辟了一次空间，O(1)