矩阵知识：秩

一、矩阵的秩

1.1 秩的定义

设$A=(a_{ij}{)}_{m\ast n}$，有$r$阶子式不为0，任何$r+1$阶子式（如果存在的话）全为0，称$r$为矩阵$A$的秩，记作$R(A)$

或：

给定一个$m\times n$矩阵$A$，其$m$个行向量的极大线性无关组对应的向量个数称为矩阵的行秩；其$n$个列向量的极大线性无关组对应的向量称为矩阵的列秩。矩阵的行秩等于列秩，称为矩阵的秩，记为$rank(A)$

1.2 矩阵秩的求法

1.2.1 子式判别法（利用定义）

例子：
$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$求R(A)
解：
存在
$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=1\ne 0$
$\therefore 存在一个三阶子式不为0$
A没有四阶子式，所以$R(A)=3$

1.2.2 用初等变化法求矩阵的秩

定理一：矩阵初等变换不改变矩阵的秩

所以第二种求矩阵A的秩的方法：

1. 将A转化为阶梯型矩阵B
2. $R(B)$等于非零行行数，R(A)=R(B)

1.3 满秩矩阵

定义

A为n阶方阵时：

$R(A)=n$，称A是满秩阵（非奇异矩阵）
$R(A)<n$，称A是降秩阵（奇异矩阵）

可见：$R(A)=n⟺|A|\ne 0$

对于满秩方阵$A$进行初等行变换可以化为单位阵$E$，又根据初等阵的作用，每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等矩阵左乘A，由此可得到下面的定理

定理

设$A$是满秩方阵，则存在一系列初等方阵$P_1,P_2,...,P_s$，使得：

$P_s{P}_{s-1}\dots P_2{P}_{1}A=E$

关于秩的一些结论

• 零矩阵的秩为0
• 根据行列式的性质，$R(A)=R(A^T)$
• $A$为$m\times n$矩阵，$0\le R(A)\le min(m,n)$

两个补充定理：

定理一：

$R(AB)\le min(R(A),R(B))$

定理二：

设A是$m\times n$矩阵，B是$n\times t$矩阵，则：

$R(A)+R(B)-n\le R(AB)$

推论：

• 如果AB=0，则：$R(A)+R(B)\le n$
• 如果$R(A)=n,AB=0$，则B=0
• 若A，B均为$m\times n$矩阵，则：
  $R(A\pm B)\le R(A)+R(B)$

1.3.6 定理

$A是一个s\times n矩阵，如果P是s\times s可逆矩阵，Q是n\times n可逆矩阵，那么：$
$秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)$

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