矩阵的秩（Rank）

定义

一个矩阵 A  的列秩是 A 的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是 A 的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A 的秩。通常表示为 r(A)，rank(A) 或 rk(A)。

可替代定义

用行列式定义

设 A 为 m*n 矩阵，若 A 至少有一个 r 阶非零子式，而其所有 r+1 阶子式全为零，则称 r 为 A 的秩。

性质

• m × n 矩阵的秩不大于m且不大于n的一个非负整数，表示为 rk(A) ≤ min(m, n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。
• 只有零矩阵有秩 0。
• A的秩最大为 min(m,n)。
• 如果方块矩阵 A 是可逆的，当且仅当 A 有秩 n（也就是 A 有满秩）。
• A 的秩等于 r，当且仅当存在一个可逆的 m*m 矩阵 X 和一个可逆的 n*n 矩阵 Y 使得 。
• 西尔韦斯特不等式：如果 A 是一个 m*n 的矩阵，且 B 是 n*k 的矩阵，则 。
• 如果 AB，ABC 和 BC 有定义，则 。
• 。
• 如果 A 是实数上的矩阵，那么 。
• 如果 A 是复数上的矩阵，那么 。

举例

计算矩阵 A 的秩最容易的方法就是高斯消元法，即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯形矩阵，由于矩阵的初等变化不会改变矩阵的秩。

，可以看到第 2 纵列是第 1 纵列的两倍，而第 4 纵列-等于第 1 和第 3 纵列的总和。第 1 和第 3 纵列是线性无关的，所以 A 的秩是 2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行阶梯形矩阵：，它有两个非零的横行。