离散数学复习知识点

个人学习记录，仅供参考。

第1部分 数理逻辑

第1章命题逻辑的基本概念

1.1命题与联结词

1.判断给定句子是否为命题有两个条件，分别是是否为陈述句，是否有唯一的真值（我们是否知道他的真值是什么不重要，重要的是他客观存在且唯一）。
2.关于相容或和排斥或：
书本例1.4中：
（1）张晓静爱唱歌或爱听音乐
爱唱歌和爱听音乐两个因素没有关系，不会互相影响，因此可用相容或，直接使用析取符号。
（2）张晓静只能挑选202或203房间
因为题目条件的限定，所以只能在202和203中2选1，不能都选，所以这里需要使用排斥或，（p⋀¬q)⋁(¬p⋀q)
（3）张晓静是江西人或安徽人
这道题既可以用相容或也可以用排斥或，因为张晓静不可能既是江西人又是安徽人，所以对实际上不能同时为真的两个条件，相容或和排斥或都能使用。

选择相容或和排斥或时，需要注意究竟是两个条件是实际可以同时为真但是题目所限定不能同时为真，还是实际上不能同时为真。
3.联结词蕴涵
关于对叙述方式的理解
p仅当q：
可以理解为p想为真仅当q为真时才有可能为真，所以只能推出p为真时，q必然为真，所以p仅当q，符号位p⟶q。
只有q才p：
可以理解为只有q为真时才有可能p为真，所以只能推出p为真时，q必然为真，所以p仅当q，符号位p⟶q。
除非q才p：
可以理解为除非q为真时才有可能p为真，所以只能推出p为真时，q必然为真，所以p仅当q，符号位p⟶q。
除非q，否则非p：
否则和非双重否定即为肯定，与上者理解相同。

在数理逻辑中，蕴涵式的前件和后件可以无任何内在联系。
4.联结词等价
课本例1.6中的当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之，当她唱歌时，一定心情愉快无法确定真值，因为王小红心情愉快，她就唱歌可以为假，不像同样是该题中的根号3是无理数一定为真。
所以只要不是客观现实中唯一确定的常理，无论题目中说得再肯定都没用，都有可能为假。
5.联结词顺序
（），¬，⋀，⋁，⟶，⟷；对同一优先级，从左到右顺序进行。

1.2命题公式及其赋值

1.公式层次
若公式A是单个的命题变项，则称A为0层公式。
若公式A的层次为k，则称A是k层公式。
2.真值表
含n个命题变项的公式共有2ⁿ个不同的赋值。
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表，称作A的真值表。
赋值从00……0开始，然后按照二进制加法每次加一，直到11……1为止。
按照层次从低到高，从左到右的顺序计算各层次真值，直到最后计算公式的真值。
含n个命题变项的公式的真值表有2²^ⁿ种不同的情况.
若A的所有赋值取值均为真，则称A为重言式或永真式。
若A的所有赋值取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
若A不是矛盾式，则称A为可满足式。
当A中的命题变项的取值对结果没有影响时，则称这些命题变项为哑元。

第2章命题逻辑等值演算

2.1等值式

1.设公式A，B共同含有n个命题变项，A或B可能有哑元。若A与B有相同的真值表，则说明在所有的2^n个赋值下，A与B的真值都相同，因而等价式A⟷B为重言式，则称A与B式等值的，记作A⇔B。
用来判断A，B是否等值，可以采用真值表法来判断，然后当工作量很大时，可以利用已知等值式进行代换。
2.等值式模式
课本中16组常用的重要等值式中最重要的三组：
分配律：
A⋁(B⋀C)⇔(A⋁B)⋀(A⋁C)
A⋀(B⋁C)⇔(A⋀B)⋁(A⋀C)
德摩根律：
¬（A⋁B）⇔¬A⋀¬B
¬（A⋀B）⇔¬A⋁¬B
蕴含等值式：
A⟶B⇔¬A⋁B
A,B,C可以替换成任意的公式，这些具体的等值式称为等值式模式的代入实例。
由已知等值式推演出其他等值式的过程称作等值演算。
置换规则：
设Φ(A)是含公式A的命题公式，Φ(B)是用公式B置换Φ(A)中A的所有出现后得到的命题公式。若B⇔A，则Φ(A)⇔Φ(B)。
3.证明两个公式不等值
（1）真值表法
（2）观察法，给出一个赋值使得两个命题公式的真值不同，就说明他们不等值。
（3）当两个公式比较复杂时，可以先通过等值演算将他们化简，再进行判断。

2.2析取范式与合取范式

1.定义
2.2命题变项及其否定统称为文字。仅有有限个文字构成的析取式称作简单析取式，仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式。

一个文字既是简单析取式，又是简单合取式。

2.3由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称作析取范式。
由有限个简单析取式的合取构成的命题公式称作合取范式。
析取范式与合取范式统称作范式。
2.4在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变项和它的否定式恰好出现一个且仅出现一次，而且命题变项或它的否定式按照下标从小到大或按照字典顺序排列，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）。

由于每个命题变项在极小项中以原型或否定形式出现且仅出现一次，因而n个命题变项共产生2^n个不同的极小项，每个极小项都有且仅有一个成真赋值，若极小项的成真赋值所对应的二进制数等于十进制数i，就将这个极小项记作mi。
类似地，n个命题变项共可产生2ⁿ个不同的极大项，每个极大项只有一个成假赋值，将其对应的十进制数i做极大项的角标，记作Mi。
2.5所有简单合取式（简单析取式）都是极小项（极大项）的析取范式（合取范式）称为主析取范式（主合取范式）。
2.定理
2.1（1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。
（2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。
2.2（1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式。
（2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式。
2.3（范式存在定理）任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式。
2.4设mi与Mi是命题变项含p1，p2，…pn的极小项和极大项，则
¬mi⇔Mi，¬Mi⇔mi
2.5任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯一的。
3.知识点
（1）求公式的成真赋值与成假赋值
若公式A中含n个命题变项，A的主析取范式含s（0≤s≤2ⁿ）个极小项，则A有s个成真赋值，它们是所含极小项角标的二进制表示
，其余2ⁿ-s个赋值都是成假赋值， 即A的主合取范式中2ⁿ-s个极大项角标的二进制表示。
（2）判断公式的类型
●A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2ⁿ个极小项（A的主合取范式不含任何极大项，此时A的主合取范式为1）。
●A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项，此时A的主析取范式为0（A的主合取范式含全部2ⁿ个极大项）.
●A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项（A的主合取范式中至少含一个极大项）。
（3）由主析取范式求主合取范式
设公式A含n个命题变项。A的主析取范式含s（0n）个极小项，即
A=mi1⋁mi2⋁…⋁mis，0≤ij≤2ⁿ-1,j=1,2,…,s
没出现的极小项为mj1,mj2,…mj2ⁿ-s，它们的角标的二进制表示为¬A的成真赋值，因而¬A的主析取范式为
¬A=mj1⋁mj2⋁…⋁mj2ⁿ-s
A⇔¬¬A
⇔¬（mj1⋁mj2⋁…⋁mj2ⁿ-s）
⇔¬mj1⋀¬mj2⋀…⋀¬mj2ⁿ-s
⇔Mj1⋀Mj2⋀…⋀Mj2ⁿ-s
（4）n个命题变项共可产生2²^ⁿ种不同的主析取范式（主合取范式）。
（5）A⇔B：真值表相同，主析取范式（主合取范式）相同。

2.3联结词的完备集

1.定义
2.6称F：{0，1}ⁿ⟶{0,1}为n元真值函数。
在这个定义中，F的自变量为n个命题变项，定义域为{0，1}ⁿ={00…0，00…1，…，11…1}，即由0，1组成的长为n的符号串的全体，值域为{0，1}。
Fⁿm代表由有n个命题变项赋值为m转换成二进制的情况下的值。
2.7设S是一个联结词集合，如果任何n（n≥1）元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词完备集。
2.8设p，q是两个命题，复合命题“p与q的否定式”称作p，q的与非式，记作p↑q。即p↑q⇔¬（p⋀q）。符号↑称作与非联结词。
复合命题“p或q的否定式”称作p，q的或非式，记作p↓q。即p↓q⇔¬（p⋁q）。符号↓称作或非联结词。
2.定理
2.6 S={¬，⋀，⋁}是联结词完备集。
推论 以下联结词集都是联结词完备集。
（1）S1={¬，⋀，⋁，⟶}
（2）S2={¬，⋀，⋁，⟶，⟷}
（3）S3={¬，⋀}
（4）S4={¬，⋁}
（5）S5={¬，⟶}
2.7{↑}，{↓}都是联结词完备集。

第3章命题逻辑的推理理论

3.1推理的形式结构

1.定义
3.1设A1，A2，…，Ak和B都是命题公式，若对于A1，A2，A3，…，Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1⋀A2⋀…⋀Ak为假，或者当A1⋀A2⋀…⋀Ak为真时B也为真，则称由前提A1，A2，…，Ak推出结论B的推理时有效的或正确的，并称B为有效的结论。
说明：
由前提A1，A2，…，Ak推出结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关，前提是一个有限的公式集合。设前提为集合Γ，将由Γ推出B的推理记为Γ├B。若推理是正确的，则记为Γ╞B，否则记为Γ│≠B（符号连在一起，实在打不出来了）。这里成Γ├B或{A1，A2，…，Ak}├B为推理的形式结构。
2.定理
3.1命题公式A1，A2，…，Ak推出B的推理正确当且仅当
A1⋀A2⋀…⋀Ak⟶B
为重言式。
可推出
{A1，A2，…，Ak}├B
等同于
A1⋀A2⋀…⋀Ak⟶B(也称作推理的形式结构)
{A1，A2，…，Ak}╞B
等同于
A1⋀A2⋀…⋀Ak⇒B
其中⇒同⇔一样是一种元语言符号，表示蕴含式为重言式。
今后要把推理的形式结构写成
前提：A1，A2，…，Ak
结论：B
推理定律
1.A⇒（A⋁B） 附加律
2.（A⋀B）⇒A 化简律
3.（A⟶B）⋀A⇒B 假言推理
4.（A⟶B）⋀¬B⇒¬A 拒取式
5.（A⋁B）⋀¬B⇒A 析取三段论
6.（A⟶B）⋀（B⟶C）⇒（A⟶C）假言三段论
7.（A⟷B）⋀（B⟷C）⇒（A⟷C） 等价三段论
8.（A⟶B）⋀（C⟶D）⋀（A⋁C）⇒（B⋁D）构造性二难
（A⟶B）⋀（¬A⟶B）⇒B 构造性二难（特殊形式）
9.（A⟶B）⋀（C⟶D）⋀（¬B⋁¬D）⇒（¬A⋁¬C） 破坏性二难
其中A,B,C,D等式元语言符号，表示任意的命题公式。、

3.2自然推理系统P

下面介绍两种构造证明方法：
1.附加前提证明法
设推理的形式结构具有如下形式
（A1⋀A2⋀…⋀Ak）⟶（A⟶B）
其结论也为蕴涵式。此时可以将结论中的前件也作为推理的前提，使结论为B，即把推理的形式结构改写为
（A1⋀A2⋀…⋀Ak⋀A）⟶B
两者的等价性证明如下：
（A1⋀A2⋀…⋀Ak）⟶（A⟶B）
⇔¬（A1⋀A2⋀…⋀Ak）⋁（¬A⋁B）
⇔¬（A1⋀A2⋀…⋀Ak⋀A）⋁ B
⇔（A1⋀A2⋀…⋀Ak⋀A）⟶B
这种方法称作附加前提证明法，并将A称作附加前提。
2.归谬法
在构造形式结构为（A1⋀A2⋀…⋀Ak）⟶B
的推理证明中，若将¬B作为前提能推出矛盾来，比如说得出（A⋀¬A），则说明推理正确。其原因如下：
（A1⋀A2⋀…⋀Ak）⟶B
⇔¬（A1⋀A2⋀…⋀Ak）⋁ B
⇔¬（A1⋀A2⋀…⋀Ak⋀¬B）
若（A1⋀A2⋀…⋀Ak⋀¬B）为矛盾式，则说明（A1⋀A2⋀…⋀Ak）⟶B为重言式，即
（A1⋀A2⋀…⋀Ak）⇒B
故推理正确。
这种将结论的否定式作为附加前提并推出矛盾式的证明方法称作归谬法。

第4章一阶逻辑基本概念

4.1一阶逻辑命题符号化

1.定义
个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。
将表示具体或特定的课题的个体词称作个体常项，一般用小写英文字体a,b,c等表示，而将表示抽象或泛指的个体词称作个体变项，常用x,y,z等表示。并称个体变项的取值范围为个体域（或称作论域）。个体域可以是有限集合，也可以是无穷集合。有一个特殊的个体域，它是由宇宙间一切事物组成的，称作全总个体域。
谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词，常用F,G,H等表示。表示具体性质或关系的谓词称作谓词常项，表示抽象的或泛指的性质或关系的谓词称作谓词变项。无论是谓词常项或变项都用大写英文字母F,G,H等表示。
一般地，含n(n≥1)个个体变项x1,x2,…,xn的谓词P称作n元谓词,记作P(x1,x2,…,xn)。P(x1,x2,…,xn)表示x1,x2,……,xn具有关系P。n元谓词是以个体域为定义域，以{0，1}为值域的n元函数或关系。
有时将不带个体变项的谓词称作0元谓词。任何命题均可以表示成0元谓词，因此可以将命题看成特殊的谓词。
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。有两种量词。
（1）全称量词。日常生活和数学中常用的“一切的”“所有的”“每一个”“任意的”“凡”“都”等词统称为全称量词，用符号“∀”表示，∀x表示个体域里的所有个体x，其中个体域是事先约定的。
（2）存在量词。日常生活和数学中常用的“存在”“有一个”“有的”“至少有一个”都”等词统称为存在量词，用符号“∃”表示，∃x表示个体域里有一个个体x。
2.要点
“∀”通常和“⟶”搭配
“∃”通常和“⋀”搭配
在不同个体域，同一个命题的符号化形式可能不同，也可能相同。
同一个命题，在不同个体域中的真值也可能不同。
一般来说，当多个量词出现时，它们的顺序不能随意调换。
命题的符号化形式不唯一。

4.2一阶逻辑公式及其解释

1.定义
一阶语言是用于一阶逻辑的形式语言，而一阶逻辑是建立在一阶语言上的逻辑体系。一阶语言本身是由抽象符号构成的。
在描述对象和形式化时要使用个体常项、个体变项、函数、谓词、量词、联结词和括号与逗号。个体常项符号、函数符号和谓词符号称作非逻辑符号，个体变项符号、量词符号、联结词符号和括号与逗号称作逻辑符号。
4.5在公式∀xA和∃xA中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在∀x和∃x的辖域中，x的所有出现都称作约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称作自由出现。
用A(x1,x2,…,xn)表示含x1,x2,…,xn自由出现的公式，并用Δ表示任意的量词(∀或∃)。例如，Δx1A(x1,x2,…,xn)是含x2,x3,…,xn自由出现的公式，可以记作A1(x2,x3,…,xn)。类似地，Δx2Δx1A(x1,x2,…,xn)可以记作A2(x3,x4,…,xn)，……,Δxn…Δx1A(x1,x2,…,xn)已无自由出现的个体变项了。
4.6设A是任意的公式，若A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称作闭式。
对公式中个体域及个体常项符号、函数符号、谓词符号的指定称作解释，指定自由出现的个体变项的值称作赋值。
给定解释Ⅰ和Ⅰ下的赋值σ，任何公式都能被解释成命题。特别地，对于闭式，由于没有自由出现的个体变项符号，所以不要赋值，只需要解释就够了。
4.8设A为一公式，若A在任何解释和该解释下的任何赋值下均为真，则称A为永真式（或称作逻辑有效式）。若A在任何解释和该解释下的任何赋值下均为假，则称A为矛盾式（或永假式）。若至少存在一个解释和该解释下的一个赋值使A为真，则称A是可满足式。
4.9设A0是含命题变项p1,p2,…pn的命题公式，A1,A2,…,An是n个谓词公式，用Ai(1≤i≤n)处处代替A0中的pi，所得公式A称为A0的代换实例。
2.定理
4.1重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例都是矛盾式。

第5章一阶逻辑等值演算与推理

5.1一阶逻辑等值式与置换规则

1.定义
5.1设A，B式一阶逻辑中任意两个公式，若A⟷B是永真式，则称A与B等值，记作A⇔B。称A⇔B是等值式。
以下给出一阶逻辑中的基本等值式
第1组
第2章中出现的16组等值式模式的代换实例都是一阶逻辑的等值式
第2组
量词否定等值式
设公式A(x)含自由出现的个体变项x,则
（1）¬∀xA(x)⇔∃x¬A(x)
（2）¬∃xA(x)⇔∀x¬A(x)
量词辖域收缩与扩张等值式
设公式A(x)含自由出现的个体变项x,B不含x的自由出现，则
（1）∀x(A(x)⋁B)⇔∀xA(x)⋁B
∀x(A(x)⋀B)⇔∀xA(x)⋀B
∀x(A(x)⟶B)⇔∃xA(x)⟶B
∀x(B⟶A(x))⇔B⟶∀xA(x)
（2）∃x(A(x)⋁B)⇔∃xA(x)⋁B
∃x(A(x)⋀B)⇔∃xA(x)⋀B
∃x(A(x)⟶B)⇔∀xA(x)⟶B
∃x(B⟶A(x))⇔B⟶∃xA(x)
量词分配等值式
（1）∀x(A(x)⋀B(x))⇔∀xA(x)⋀∀xB(x)
（2）∃x(A(x)⋁B(x))⇔∃xA(x)⋁∃xB(x)
进行等值演算，除以上基本等值式外，还有以下2条规则。
置换规则
设Φ(A)是含公式A的公式，Φ(B)是用公式B取代Φ(A)中所有的A之后所得到的公式。那么，若A⇔B，则Φ(A)⇔Φ(B)。
换名规则
设A为一公式，将A中某量词辖域中的一个约束变项的所有出现及相应的指导变元全部改成该量词辖域中未曾出现的某个个体变项符号，公式中其他部分不变，将所得公式记作A’，则A⇔A’。
当个体域为有限集D={a1,a2,…,an}时,可以消去量词，将∀xA(x)写成A(a1)⋀A(a2)⋀…⋀A(an)，将∃xA(x)写成A(a1)⋁A(a2)⋁…⋁A(an)。
（量词的次序不能随意颠倒）

5.2一阶逻辑前束范式

1.定义
5.2具有以下形式
Q1x1Q2x2…QkxkB
的一阶逻辑公式称作前束范式，其中Qi(1≤i≤k)为∀或∃，B为不含量词的公式。
2.定理
5.1（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在等值的前束范式。

5.3一阶逻辑的推理理论

1.定义
在一阶逻辑中称永真式的蕴涵式为推理定律。若一个推理的形式结构时推理定律，则这个推理是正确的。
推理定律有下面几组来源。
第一组 命题逻辑推理定律的代换实例
第二组 由基本等值式生成的推理定律
第三组 一些常用的重要推理定律
（1）∀xA(x)⋁∀xB(x)⇒∀x(A(x)⋁B(x))
（2）∃xA(x)⋀∃xB(x)⇒∃x(A(x)⋀B(x))
（3）∀x(A(x)⟶B(x))⇒∀xA(x)⟶∀xB(x)
（4）∃x(A(x)⟶B(x))⇒∃xA(x)⟶∃xB(x)
等等
此外还有4条消去量词和引入量词的规则。（
（1）全称量词消去规则（简记为∀-）

其中x,y是个体变项符号，c是个体常项符号，且在A中x不在∀y和∃y的辖域内自由出现。
（2）全称量词引入规则（简记为∀+）

其中y是个体变项符号，且不在Γ的任何公式中自由出现。
（3）存在量词消去规则（简记为∃-）

其中y是个体变项符号，且不在Γ的任何公式和B中自由出现,c是个体常项符号，且不在Γ的任何公式和A,B中自由出现。
（4）存在量词引入规则（简记为∃+）

其中x,y是个体变项符号，c是个体常项符号，并且在A中y和c分别不在∀x、∃x的辖域内自由出现和出现。

2.知识点
（在证明序列中先引进带存在量词的前提）

第5部分 图论

第14章图的基本概念

14.1图

1.定义
设A,B为任意的两个集合，称
{{a,b}│a∈A⋀b∈B}
为A与B的无序积，记作A&B。无论a,b是否相等，均有(a,b)=(b,a),因而A&B=B&A。
14.1一个无向图G是一个有序的二元组,其中
（1）V是一个非空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。
（2）E是无序积V&V的有穷多重子集，称作边集，其元素称作无向边，简称为边。
14.2一个有向图D是一个有序的二元组,其中
（1）V是一个非空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。
（2）E是笛卡尔积V×V的有穷多重子集，称作边集，其元素称作有向边，简称为边。
通常用图形来表示无向图和有向图：用小圆圈（或实心点）表示顶点，用顶点之间的连线表示无向边，用带箭头的连线表示有向边。
●无向图和有向图统称作图，通常用G表示无向图，D表示有向图。用V（G），E（G）分别表示G的顶点集和边集，|V（G）|，|E（G）|分别是G的顶点数和边数。
●顶点数称作图的阶，n个顶点的图称作n阶图。
●一条边也没有的图称作零图，n阶零图记作Nn。1阶零图N1称作平凡图，平凡图只有一个顶点，没有边。
●在图的定义中规定顶点集V为非空集，但在图的运算中可能产生顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记作∅。
●当用图形表示图时，如果给每一个顶点和每一条边指定一个符号（字母或数字，当然字母还可以带下标），则称这样的图为标定图，否则称为非标定图。
●将有向图的各条有向边改成无向边后所得到的无向图称作这个有向图的基图。
●设G=为无向图，ek=（vi，vj）∈E，则称vi，vj为ek的端点，ek与vi（vj）关联，若vi≠vj，则称ek与vi（vj）的关联次数为1；若vi=vj，则称ek与vi的关联次数为2，并称ek为环。如果顶点vl不与边ek关联，则称ek与vl的关联次数为0。

●