【离散数学】第一章 笔记（完）

很零碎的笔记，供自己复习用。
截图是老师的课件。

第一章 命题逻辑

命题

能够判断真假的陈述句称作命题。

• 能够判断真假
• 陈述句

一个命题的“结果”，称为真值。
（真值只是一个名字，与真假无关）

例： X>Y 不是命题，因为无法判断真假。
明天会下雨 是命题，可以判断真假。

命题变元不是命题。

命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标识，就称为命题变元。

它是位置标识，不是能判真假的陈述句。

原子变元：当命题变元表示原子命题时，该变元称为原子变元。

命题连接词

命题连接词：
逻辑否定词“┐”是一个一元运算, 它的意义是“否定”被否定命题的全部, 而不是一部分。
如：全都的否定是不全都，而不是全不都。
（100%的否定是非100%，而不是0%。）

可兼或与排斥或：

析取词“∨”表示的是一种“可兼或”, 允许所有部分命题同时为真。

如：你聪明，你可爱，可兼或。
你男，你女，不可兼或（排斥）。

不可兼或的标准写法：
例：人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛。
P：重
Q：轻
翻译：（P∧┐Q）∨（Q∧┐P）

条件词

条件词(蕴涵词)—— →：

注：当前件P为真, 后件Q为假时, 命题P → Q取值为假, 否则P → Q取值为真。

前真后假才为假，其余为真。

当、仅当

P→Q与当、仅当：
P→Q：
“只要P就Q”、
“P仅当Q”。

则此时Q→P就是Q当P。

P仅当Q 可译为P→Q P当Q 可译为Q→P

只有当，是仅当。

双条件

“P当且仅当Q”也是一个命题，记为P双箭头（打不出来）Q，读 作P当且仅当Q。

双箭头是充要条件。

相同为1。

优先级

真值指派与真值表

含有n个命题变元的公式有2^n组不同的的真值指派。

若两个命题真值表相同，则两命题等价：

（公式/表格）等价公式和补充重要公式

不同符号间的关系

重言式与蕴含式等定义

重言式或永真公式：全1；
矛盾式或永假公式：全0；
可满足式：可1；

蕴含式：
A在B里：

（公式/表格）常用蕴含式的表

其他联结词

1、不能同时出现




联结词↑ ↓不满足结合律！！

九大命题联结词的相互关系

联结词功能完全组：

对偶

定义：

没有否定的增加和去除！
定理：

简单析取式、简单合取式、范式

小项

n个变元可构成2^n个不同的小项。
有否定的地方就是0，类比二进制得出小项编码的下标，如111是4+2+1=6，从最后一位开始，从2^0开始。

**命题变元按字典序排列；**即，有可能考试题目的命题变元顺序是乱的，我们要自行排序。

形如下图的不是小项：

1. 命题变元及其否定一起出现
2. 命题变元没全出现

小项的性质：

主析取范式

用真值表法或公式法求主析取范式。

真值表法：

看一个例子就懂了：

主合取范式：有非的地方位置是1 。（编号）

推理理论的相关定义和推广

逗号就是合取的意思。

直接整明法：

E基本等价关系，I推理定律。
即，E是指等价的步骤，I是指推理（→推理）的步骤。

一个PTEI的例子：

间接证法（反证法）

A与非B不相容，则A→B；

CP规则

A要蕴含B→C，则A合取B要蕴含C。

用CP规则推理的最后一行：

本章小结