离散数学复习---第十七章 平面图【概念版】

目录

17.1 平面图的基本概念

17.2  欧拉公式

17.3  平面图的判断

17.4  平面图的对偶图

---

17.1 平面图的基本概念

定义17.1  如果能将无向图G画在平面上使得除顶点外处处无边相交，则称G为可平面图，简称为平面图。画出的无边相交的图称为G的平面嵌入。无平面嵌入的图称为非平面图。

定理17.1  平面图的子图都是平面图，非平面图的母图都是非平面图。

定理17.2  设G为平面图，则在G中加平行边或环后所得的图还是平面图。

定义17.2  给定平面图G的平面嵌入，G的边将平面划分为若干个区域，每个区域都称作G的一个面，其中有一个面的面积无限，称作无限面或外部面，其余面的面的面积有限，称作有限面或内部面。包围每个面的所有边组成的回路组称作该面的边界，边界的长度称作该面的次数。

定理17.3  平面图所有面的次数之和等于边数的两倍。

定义17.3  设G为简单平面图，若在G的任意两个不相邻的两个顶点之间加一条边，所得图为非平面图，则称G为极大平面图。

定理17.4  极大平面图是连通的，并且当阶数大于等于3时没有割点个桥。

定理17.5  设G是 n（n≥3）阶简单连通的平面图，G为平面极大图当且仅当G的每个面的次数均为3。

定义17.4  若在非平面图G中任意删除一条边，所得的图为平面图，则称G为极小平面图。

 和  都是极小非平面图。

17.2  欧拉公式

定理17.6（欧拉公式）  设连通平面图G的顶点数、边数和面数分别为n，m和r，则有

n - m  + r = 2

定理17.7（欧拉公式的推广）  对于由k（k≥2）个连通分支的平面图G，有

n - m + r = k + 1

其中n，m，r分别为G的顶点数、边数和面数。

定理17.8  设G是连通的平面图，且每个面的次数至少为l（l≥3），则G的边数m与顶点数n有如下关系：

定理17.9  设平面图G有k（k≥2）个连通分支，各面的次数至少为l（l≥3），则边数m与顶点数n有如下关系：

定理17.10  设G是n（n≥3）阶m条边的极大平面图，则m = 3n - 6。

定理17.11  设G是简单平面图，则G的最小度   。

17.3  平面图的判断

定义17.5  设 e = （u ，v）为图G的一条边，在G中删除e，增加新的顶点w，使u，v均与w相邻，称作在G中插入2度顶点w。设w在G中的一个2度顶点，w与u，v相邻，删除w，增加新边（u，v），称作在G中消去2度顶点w。

若两个图 和  同构，或通过反复插入、消去2度顶点后同构，则称 与  同胚。

定理17.12（Kuratowski定理1）  图 G 是平面图当且仅当 G 中既不含与  同胚的子图，也不含与  同胚的子图。

定理17.13 （Kuratowski定理2）  图 G 是平面图当且仅当G中既没有可以收缩到 的子图，也没有可以收缩到   同胚的子图。

17.4  平面图的对偶图

定义17.6  设G是一个平面图的平面嵌入，构造图如下：在G的每一个面中放置一个顶点。设 e 为 G 的一条边，若 e 在 G 的面   与  的公共边界上，则作边  与 e 相交，且不与其他任何边相交。若 e 为 G 中的桥且在面  的边界上，则作以  为端点的环  。称作  为 G 的对偶图。

定理17.14  设平面图G是连通的， 是G的对偶图，，， 和 n，m，r 分别为 和G的顶点数、边数和面数，则

 （1） = r

（2） = m

（3） = n

（4）设 的顶点  位于G的面  中，则 

定理17.15  设平面图G有k（k≥1）个连通分支， 是G的对偶图， ，， 和 n，m，r 分别为 和G的顶点数、边数和面数，则

（1） = r

（2） = m

（3） = n

 （4）设 位于G的面  中，则 

定义17.17  设 是平面图G的对偶图，若  G，则称G为自对偶图。

在 n-1(n≥4)边形内放置一个顶点，连接这个顶点与 上的所有顶点。所得的 n 阶简单图称作 n 阶轮图，记作。n 为奇数的轮图称作奇阶轮图，n为偶数的轮图称作偶阶轮图。图17.10(c)中，实边图为 5阶轮图 。可以证明轮图都是自对偶图。

---

本文由作者参考《离散数学（第2版）屈婉玲 著》 整理而成，仅用于期末考试复习用。