平面与直线的交点

平面与直线的交点

在3D空间中，直线L平行于平面P或者与其相交。令L的方程如下：

P(S)= P0 + s(P1-P0) = P0 +su

并且平面P由其上的点V0和法向量N=(A,B,C)给出。

• 首先通过测试n·u=0(直线方向向量u垂直于平面法线n)来检查L是否与P平行。如果等于0，那么L和P是平行的或者L完全位于平面P中。
• 不相交或重合可以通过测试L中的任何一个特定的点（比如P0）被包含在平面P内 ，即是否满足方程：n·(P0-V0)= 0。
• 如果直线L和平面P不平行，则L和P 在唯一点P(si)相交，该点使用类似于2D中两条线的交点的方法计算。如下图所示：

在交点处，向量P(S)-V0 = W +su垂直于向量n， 其中W = P0-V0。这相当于点积条件：n·(W + su)= 0。整理可得：

如果线L是从P0到P1的线段，则只需检查0<=si<=1以验证该线段与平面之间存在交叉。对于正射线，当si>=0时与平面有交点。计算交点代码如下：

Eigen::Vector3d LinePlaneIntersection(const Eigen::Vector3d &u, const Eigen::Vector3d &p0,
    const Eigen::Vector3d &n, const Eigen::Vector3d &v0)
{
    double s = (n.dot(v0) - n.dot(p0)) / n.dot(u);
    return s * u + p0;
}