（十 二）特殊的二阶张量——正交张量（二）

5. 正交张量的标准形

• 当正交张量只有实特征值时，由于正交张量特征值的几何重数等于代数重数且总可找到三个两两正交的特征向量，故正交张量必定可以以特征向量为标准正交基，展开为对角标准形，具体来说：
  $$\mathbf{Q}=\{\begin{array}{ll}-e_1{e}_1-e_2{e}_2+e_3{e}_3& (\mathbf{Q}为具有二重特征值的正常正交张量)\\ & \\ e_1{e}_1+e_2{e}_2-e_3{e}_3& (\mathbf{Q}为具有二重特征值的反常正交张量)\\ & \\ e_1{e}_1+e_2{e}_2+e_3{e}_3& (\mathbf{Q}为具有三重特征值的正常正交张量)\\ & \\ -e_1{e}_1-e_2{e}_2-e_3{e}_3& (\mathbf{Q}为具有三重特征值的反常正交张量)\end{array}$$

• 当正交张量$\mathbf{Q}$存在共轭复特征值${\lambda }_1$、${\lambda }_2={\bar{\lambda }}_1$ 时，按照一般的处理方式，在基$$\{\begin{array}{l}{g}_1=u_1+u_2\\ \\ g_2=i(u_1-u_2)\\ \\ g_3=u_3\end{array}$$
  上，$\mathbf{Q}$可展开为：
  $$\mathbf{Q}=cos\psi g_1{g}^1-sin\psi g_1{g}^2+sin\psi g_2{g}^1+cos\psi g_2{g}^2+det(\mathbf{Q})g_3{g}^3$$
  根据 $u_3\bullet u_1=u_3\bullet u_2=0$可推知：
  $$g_3\bullet g_1=g_3\bullet g_2=0$$
  下面证明 $g_1\bullet g_2=0$，由正交变换的保内积性：
  $$\begin{array}{rl}& g_1\bullet g_1=(\mathbf{Q}\bullet g_1)\bullet (\mathbf{Q}\bullet g_1)=co{s}^2\psi (g_1\bullet g_1)+si{n}^2\psi (g_2\bullet g_2)+2sin\psi cos\psi (g_1\bullet g_2)\\ & \\ & g_1\bullet g_2=(\mathbf{Q}\bullet g_1)\bullet (\mathbf{Q}\bullet g_2)=co{s}^2\psi (g_1\bullet g_2)-si{n}^2\psi (g_1\bullet g_2)-sin\psi cos\psi (g_1\bullet g_1-g_2\bullet g_2)\end{array}$$
  由于$sin\psi \ne 0$，则
  [ − c o s ψ − 2 s i n ψ s i n ψ − 2 c o s ψ ] ( g ⃗ 1 ∙ g ⃗ 1 − g ⃗ 2 ∙ g ⃗ 2 g ⃗ 1 ∙ g ⃗ 2 ) = 0 \begin{bmatrix} -cos\psi&-2sin\psi\\\\ sin\psi&-2cos\psi \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \vec{g}_1\bullet\vec{g}_1-\vec{g}_2\bullet\vec{g}_2\\\\ \vec{g}_1\bullet\vec{g}_2 \end{pmatrix}=0 ​−cosψsinψ​−2sinψ−2cosψ​ ​ ​g ​1​∙g ​1​−g ​2​∙g ​2​g ​1​∙g ​2​​ ​=0
  因
  ∣ − c o s ψ − 2 s i n ψ s i n ψ − 2 c o s ψ ∣ = 2 ≠ 0 \begin{vmatrix} -cos\psi&-2sin\psi\\\\ sin\psi&-2cos\psi \end{vmatrix}=2\ne0 ​−cosψsinψ​−2sinψ−2cosψ​ ​=2=0
  故
  ( g ⃗ 1 ∙ g ⃗ 1 − g ⃗ 2 ∙ g ⃗ 2 g ⃗ 1 ∙ g ⃗ 2 ) = 0 ⟹ { g ⃗ 1 ∙ g ⃗ 2 = 0 ∣ g ⃗ 1 ∣ = ∣ g ⃗ 2 ∣ \begin{pmatrix} \vec{g}_1\bullet\vec{g}_1-\vec{g}_2\bullet\vec{g}_2\\\\ \vec{g}_1\bullet\vec{g}_2 \end{pmatrix}=0 \Longrightarrow \begin{cases} \vec{g}_1\bullet\vec{g}_2=0\\\\ |\vec{g}_1|=|\vec{g}_2| \end{cases} ​g ​1​∙g ​1​−g ​2​∙g ​2​g ​1​∙g ​2​​ ​=0⟹⎩ ⎨ ⎧​g ​1​∙g ​2​=0∣g ​1​∣=∣g ​2​∣​
  这表明，正交张量有共轭复根时，其实数化标准形所采用的基是两两正交的，并且有$|g_1|=|g_2|$。事实上，在标准正交基$\{e_1,e_2,e_3\}$（$e_1,e_2$为$g_1$、$g_2$所张成平面内的任意相互正交的两个单位向量，$e_3$为$g_3$对应的单位矢量）正交张量$\mathbf{\Omega }$同样也可以展开为类似于上述实数化后的形式：
  $$\mathbf{Q}=cos\psi e_1{e}_1-sin\psi e_1{e}_2+sin\psi e_2{e}_1+cos\psi e_2{e}_2+det(\mathbf{Q})e_3{e}_3$$
  说明如下：
  
  在垂直于$e_3$的平面内任意选择两互相正交的单位矢量 $e_1$、$e_2$，并以$e_1$、$e_2$、$e_3$为一组新基，那么逆变转换系数为：
  [ β j i ′ ] = [ ∣ g ⃗ 1 ∣ c o s α − ∣ g ⃗ 2 ∣ s i n α 0 ∣ g ⃗ 1 ∣ s i n α ∣ g ⃗ 2 ∣ c o s α 0 0 0 ∣ g ⃗ 3 ∣ ] [\beta^{i'}_j]=\begin{bmatrix} |\vec{g}_1|cos\alpha & -|\vec{g}_2|sin\alpha & 0 \\ \\ |\vec{g}_1|sin\alpha & |\vec{g}_2|cos\alpha & 0 \\ \\ 0 & 0 &|\vec{g}_3| \end{bmatrix} [βji′​]= ​∣g ​1​∣cosα∣g ​1​∣sinα0​−∣g ​2​∣sinα∣g ​2​∣cosα0​00∣g ​3​∣​ ​
  协变转换系数矩阵：
  [ β i ′ j ] = [ β j i ′ ] − 1 = [ ∣ g ⃗ 2 ∣ c o s α ∣ g ⃗ 1 ∣ ∣ g ⃗ 2 ∣ ∣ g ⃗ 2 ∣ s i n α ∣ g ⃗ 1 ∣ ∣ g ⃗ 2 ∣ 0 − ∣ g ⃗ 1 ∣ s i n α ∣ g ⃗ 1 ∣ ∣ g ⃗ 2 ∣ ∣ g ⃗ 1 ∣ c o s α ∣ g ⃗ 1 ∣ ∣ g ⃗ 2 ∣ 0 0 0 1 ∣ g ⃗ 3 ∣ ] [\beta_{i'}^j]=[\beta^{i'}_j]^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{ |\vec{g}_2|cos\alpha}{|\vec{g}_1||\vec{g}_2|} & \frac{ |\vec{g}_2|sin\alpha}{|\vec{g}_1||\vec{g}_2|} & 0 \\ \\ \frac{ -|\vec{g}_1|sin\alpha}{|\vec{g}_1||\vec{g}_2|} & \frac{ |\vec{g}_1|cos\alpha}{|\vec{g}_1||\vec{g}_2|} & 0 \\ \\ 0 & 0 &\frac{1}{|\vec{g}_3|} \end{bmatrix} [βi′j​]=[βji′​]−1= ​∣g ​1​∣∣g ​2​∣∣g ​2​∣cosα​∣g ​1​∣∣g ​2​∣−∣g ​1​∣sinα​0​∣g ​1​∣∣g ​2​∣∣g ​2​∣sinα​∣g ​1​∣∣g ​2​∣∣g ​1​∣cosα​0​00∣g ​3​∣1​​ ​
  那么根据坐标转换关系，在新基中正交张量的分量为：
  [ Q ∙ n ′ m ′ ] = [ ∣ g ⃗ 1 ∣ c o s α − ∣ g ⃗ 2 ∣ s i n α 0 ∣ g ⃗ 1 ∣ s i n α ∣ g ⃗ 2 ∣ c o s α 0 0 0 ∣ g ⃗ 3 ∣ ] [ c o s ψ − s i n ψ 0 s i n ψ c o s ψ 0 0 0 d e t ( Q ) ] [ ∣ g ⃗ 2 ∣ c o s α ∣ g ⃗ 1 ∣ ∣ g ⃗ 2 ∣ ∣ g ⃗ 2 ∣ s i n α ∣ g ⃗ 1 ∣ ∣ g ⃗ 2 ∣ 0 − ∣ g ⃗ 1 ∣ s i n α ∣ g ⃗ 1 ∣ ∣ g ⃗ 2 ∣ ∣ g ⃗ 1 ∣ c o s α ∣ g ⃗ 1 ∣ ∣ g ⃗ 2 ∣ 0 0 0 1 ∣ g ⃗ 3 ∣ ] = [ c o s ψ − s i n ψ 0 s i n ψ c o s ψ 0 0 0 d e t ( Q ) ] [Q^{m'}_{\bullet n'}]=\begin{bmatrix} |\vec{g}_1|cos\alpha & -|\vec{g}_2|sin\alpha & 0 \\ \\ |\vec{g}_1|sin\alpha & |\vec{g}_2|cos\alpha & 0 \\ \\ 0 & 0 & |\vec{g}_3| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos \psi & -sin \psi & 0 \\\\ sin \psi & cos \psi& 0 \\\\ 0 & 0 & det(\bold{Q}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{ |\vec{g}_2|cos\alpha}{|\vec{g}_1||\vec{g}_2|} & \frac{ |\vec{g}_2|sin\alpha}{|\vec{g}_1||\vec{g}_2|} & 0 \\ \\ \frac{ -|\vec{g}_1|sin\alpha}{|\vec{g}_1||\vec{g}_2|} & \frac{ |\vec{g}_1|cos\alpha}{|\vec{g}_1||\vec{g}_2|} & 0 \\ \\ 0 & 0 &\frac{1}{|\vec{g}_3|} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos \psi & -sin \psi & 0 \\\\ sin \psi & cos \psi& 0 \\\\ 0 & 0 & det(\bold{Q}) \end{bmatrix} [Q∙n′m′​]= ​∣g ​1​∣cosα∣g ​1​∣sinα0​−∣g ​2​∣sinα∣g ​2​∣cosα0​00∣g ​3​∣​ ​ ​cosψsinψ0​−sinψcosψ0​00det(Q)​ ​ ​∣g ​1​∣∣g ​2​∣∣g ​2​∣cosα​∣g ​1​∣∣g ​2​∣−∣g ​1​∣sinα​0​∣g ​1​∣∣g ​2​∣∣g ​2​∣sinα​∣g ​1​∣∣g ​2​∣∣g ​1​∣cosα​0​00∣g ​3​∣1​​ ​= ​cosψsinψ0​−sinψcosψ0​00det(Q)​ ​
  可见，在所选的新标准正交基$\{e_1,e_2,e_3\}$中各分量与原来的正交基$\{g_1,g_2,g_3\}$中相同。（证毕）

综上所述，不管正交张量是否存在复特征值，正交张量总可以在一组标准正交基下展开为：
$$\mathbf{Q}=cos\psi e_1{e}_1-sin\psi e_1{e}_2+sin\psi e_2{e}_1+cos\psi e_2{e}_2+det(\mathbf{Q})e_3{e}_3，\psi \in [0,2\pi )$$
而这组标准正交基的选取方式按照特征值的情况可进行如下分类：

(1) 若正交张量包含共轭复根，则取实特征值所对应特征方向的单位矢量$e_3$以及与$e_3$垂直的面内的任何两个正交的单位向量$e_1$、$e_2$作为标准正交基；

(2) 若正交张量包含二重实根，则取单重实特征值 ${\lambda }_3$ 所对应特征方向的单位矢量$e_3$以及与$e_3$垂直的面内的任何两个正交的单位向量$e_1$、$e_2$作为标准正交基；

(3) 若正交张量包含三重实根，则可任取空间中的一组标准正交基。

6. 正交变换的几何意义

正交张量：
$$\mathbf{Q}=cos\psi e_1{e}_1-sin\psi e_1{e}_2+sin\psi e_2{e}_1+cos\psi e_2{e}_2+det(\mathbf{Q})e_3{e}_3$$
任意向量$x$：
$$x=x_1{e}_1+x_2{e}_2+x_3{e}_3$$
那么，
$$\begin{gathered} \mathbf{Q}\bullet x=x_1(cos\psi e_1+sin\psi e_2)+x_2(-sin\psi e_1+cos\psi e_2)+x_{3}det(\mathbf{Q})e_3 \\ x\bullet \mathbf{Q}=x_1(cos\psi e_1-sin\psi e_2)+x_2(sin\psi e_1+cos\psi e_2)+x_{3}det(\mathbf{Q})e_3 \end{gathered}$$
下图给出了正常正交张量对应的两种正交变换的几何意义：

正交变换的几何意义可表述为：

(1) 正常正交张量左乘向量相当于该向量绕正交张量的轴(单/实特征值对应的特征向量)按左手系旋转$\psi$（复特征值的辐角）;

(2) 正常正交张量右乘向量相当于该向量绕正交张量的轴按右手系旋转$\psi$;

(3) 反常正交变换相当于在正常正交变换基础上在增加一个镜面反衬的操作;

7. 将向量绕任意单位方向 $r$ 旋转任意角度 $\psi$ 的正交张量 ${\mathbf{Q}}^{(r)}(\psi )$

已知单位向量 $r$ ，求可以将任意向量 $v$ 绕该方向旋转任意角度 $\psi$ 的正常正交张量 ${\mathbf{Q}}^{(r)}(\psi )$，根据正交变换的几何解释可知：$r$为正常正交张量 ${\mathbf{Q}}^{(r)}(\psi )$的轴。记
$$u\triangleq v-(v\bullet r)r$$

如图，有：
$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{Q}}^{(r)}(\psi )\bullet v={\mathbf{Q}}^{(r)}(\psi )\bullet u+(v\bullet r)r\\ & \\ & =|u|cos(\psi )\frac{u}{|u|}+|u|sin(\psi )\frac{r\times u}{|r\times u|}+(v\bullet r)r\\ & \\ & =cos(\psi )u+sin(\psi )r\times u+v\bullet (r\otimes r)\\ & \\ & =cos(\psi )[v-(v\bullet r)r]+sin(\psi )r\times [v-(v\bullet r)r]+(r\otimes r)\bullet v\\ & \\ & =[cos\psi \mathbf{G}+(1-cos\psi )r\otimes r-sin\psi r\bullet \epsilon ]\bullet v\end{array}$$
由$v$的任意性,且 $r\cdot \epsilon =\epsilon \cdot r$ 可知：
$${\mathbf{Q}}^{(r)}(\psi )=cos\psi \mathbf{G}+(1-cos\psi )r\otimes r-sin\psi \epsilon \bullet r$$
且
$$\begin{gathered} {\mathbf{Q}}^{(r)}(\psi )\bullet v表示绕轴r右手系旋转； \\ v\bullet {\mathbf{Q}}^{(r)}(\psi )表示绕轴r左手系旋转； \end{gathered}$$
同理 ，求得对应的反常正交张量：
$${\mathbf{Q}}^{\prime (r)}(\psi )=cos\psi \mathbf{G}-(1+cos\psi )r\otimes r-sin\psi \epsilon \bullet r$$
特别地，若不转动，仅进行镜面反射操作的反正常正交张量为：
$${\mathbf{Q}}^{\prime (r)}(0)=\mathbf{G}-2r\otimes r$$