算法笔记之2-路归并排序

2-路归并排序算法简介：

归并排序是一种基于“归并”思想的排序方法，最基本的是2-路归并排序。2-路归并排序的原理：将序列两两分组，将序列归并为[n/2]个组，组内单独排序，然后将这些组再两两归并，生成[n/4]个组，组内再单独排序，以此类推，直到只剩下一个组为止。归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。

2-路归并排序算法图解：

将序列{66, 12, 33, 57, 64, 27, 18}进行2-路归并排序。

①第一趟。两两分组，得到四组: {66, 12}、 {33,57}、 {64,27}、 {18},组内单独排序,得到新序列{{12, 66}, {33, 57}, {27, 64}, {18}}。

②第二趟。将四个组继续两两分组，得到两组: {12, 66, 33, 57}、{27, 64, 18}，组内单独排序，得到新序列{{12, 33, 57, 66}, {18, 27, 64}}。

③第三趟。将两个组继续两两分组，得到一组: {12, 33, 57, 66, 18, 27, 64}，组内单独排序，得到新序列{12, 18, 27, 33, 57, 64, 66}。排序结束。

2-路归并排序代码实现(递归)：

2-路归并排序的递归写法：反复将当前区间[left, right]分为两部分，对两个子区间[left, mid]和[mid + 1, right]分别递归进行归并排序，最后将两个已有序的子区间合并为有序序列。

#define maxn 105
//将数组A的[L1,R1]与[L2,R2]区间合并为有序区间(此处L2=R1+1)
void merge(int A[],int L1,int R1,int L2,int R2){
	int i = L1;  //i指向A[L1]
	int j = L2;  //j指向A[L2]
	int t[maxn],index = 0;  //t临时存放合并后的数组，index为下标
	while(i <= R1 && j <= R2){
		if(A[i] <= A[j]){
			t[index++] = A[i++];  //将A[i]加入序列t
		}else{
			t[index++] = A[j++];  //将A[j]加入序列t
		}
	}
	while(i <= R1)
		t[index++] = A[i++];  //将[L1,R1]剩余元素加入序列t
	while(j <= R2)
		t[index++] = A[j++];  //将[L2,R2]剩余元素加入序列t
	for(int i = 0; i < index; i++){
		A[L1+i] = t[i];  //将合并后序列赋值回数组A
	}
}
//将当前区间[left, right]进行归并排序
void mergeSort(int A[],int left,int right){
	if(left < right){
		int mid = (left + right) / 2;  //中点
		mergeSort(A, left, mid);    //递归，左子区间[left, mid]进行归并排序
		mergeSort(A, mid+1, right);  //递归，右子区间[mid+1, right]进行归并排序
		merge(A, left, mid, mid+1, right);  //左右子区间合并
	}
}

2-路归并排序代码实现(非递归)：

2-路归并排序的非递归写法：令step 的初值为2,将数组中每step个元素作为一组，将其内部进行排序(把左step/2个元素与右step/2个元素合并，若元素个数不超过step/2，则不操作)；再令step乘以2，重复以上操作，直到step/2超过元素个数n。

void mergeSort(int A[]){
	//step为组内元素个数，step/2为左子区间元素个数
	for(int step = 2; step / 2 <= n;step *= 2){
		//每step个元素为一组，组内前step/2和后step/2个元素进行合并
		for(int i = 1; i <= n; i += step){
			int mid = i + step / 2 - 1;  //左子区间元素个数为step/2
			if(mid + 1 <= n){  //右子区间存在元素则进行合并
				merge(A,i,mid,mid+1,min(i+step-1,n));  //左子区间[i,mid]，右子区间[mid+1,min(i+step-1,n)]
			}
		}
	}
}

2-路归并排序应用举栗：

输入一个n为待排序个数，以及一个待排序数组，利用2-路归并排序算法输出排序后的数组。
C++代码如下（递归）：

#include
#include
#include

using namespace std;

#define maxn 105
//将数组A的[L1,R1]与[L2,R2]区间合并为有序区间(此处L2=R1+1)
void merge(int A[],int L1,int R1,int L2,int R2){
	int i = L1;  
	int j = L2;  
	int t[maxn],index = 0;  
	while(i <= R1 && j <= R2){
		if(A[i] <= A[j]){
			t[index++] = A[i++];  
		}else{
			t[index++] = A[j++];  
		}
	}
	while(i <= R1)
		t[index++] = A[i++];  
	while(j <= R2)
		t[index++] = A[j++];
	for(int i = 0; i < index; i++){
		A[L1+i] = t[i]; 
	}
}
//将当前区间[left, right]进行归并排序
void mergeSort(int A[],int left,int right){
	if(left < right){
		int mid = (left + right) / 2; 
		mergeSort(A, left, mid);    
		mergeSort(A, mid+1, right);  
		merge(A, left, mid, mid+1, right);  
	}
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	int A[maxn];
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		cin>>A[i];
	}
	mergeSort(A,1,n);
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		cout<<A[i]<<" ";
	}
	return 0;
}

C++代码如下（非递归）：

#include
#include
#include

using namespace std;

#define maxn 105
int n;
//将数组A的[L1,R1]与[L2,R2]区间合并为有序区间(此处L2=R1+1)
void merge(int A[],int L1,int R1,int L2,int R2){
	int i = L1;  
	int j = L2;  
	int t[maxn],index = 0;  
	while(i <= R1 && j <= R2){
		if(A[i] <= A[j]){
			t[index++] = A[i++];  
		}else{
			t[index++] = A[j++];  
		}
	}
	while(i <= R1)
		t[index++] = A[i++]; 
	while(j <= R2)
		t[index++] = A[j++];  
	for(int i = 0; i < index; i++){
		A[L1+i] = t[i];  
	}
}
void mergeSort(int A[]){
	//step为组内元素个数，step/2为左子区间元素个数
	for(int step = 2; step / 2 <= n;step *= 2){
		//每step个元素为一组，组内前step/2和后step/2个元素进行合并
		for(int i = 1; i <= n; i += step){
			int mid = i + step / 2 - 1; 
			if(mid + 1 <= n){  
				merge(A,i,mid,mid+1,min(i+step-1,n));  
			}
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	int A[maxn];
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		cin>>A[i];
	}
	mergeSort(A);
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		cout<<A[i]<<" ";
	}
	return 0;
}