高等数学(预备知识之三角函数)
目录
- 一. 三角函数的定义
- 二.象限角的三角函数符号
- 三.诱导公式一
- 四. 三角函数重要公式
一. 三角函数的定义
正弦函数, 余弦函数, 正切函数都是以角为自变量, 以单位圆上的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 我们将他们称为三角函数
sin \sin sin α \alpha α = y
cos \cos cos α \alpha α = x
tan \tan tan α \alpha α = y x \frac{y}{x} xy
正弦函数: y= sin \sin sin x \quad x ∈ \in ∈R
余弦函数: y= cos \cos cos x \quad x ∈ \in ∈R
正切函数: y= tan \tan tan x \quad x ≠ \neq = π 2 \frac{π}{2} 2π+kπ (k ∈ \in ∈Z) \quad 因为y= tan \tan tan π 2 \frac{π}{2} 2π = 1 0 \frac{1}{0} 01
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例题1: 求 5 π 3 \frac{5π}{3} 35π的正弦, 余弦, 正切值
sin \sin sin 5 π 3 \frac{5π}{3} 35π = sin \sin sin(- π 3 \frac{π}{3} 3π) = - 3 2 \frac{\sqrt[]{3}}{2} 23
cos \cos cos 5 π 3 \frac{5π}{3} 35π = cos \cos cos(- π 3 \frac{π}{3} 3π) = 1 2 \frac{1}{2} 21
tan \tan tan 5 π 3 \frac{5π}{3} 35π = − 3 -\sqrt[]{3} −3
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二.象限角的三角函数符号
所在象限为正, 由以下得来
三.诱导公式一
可以这样理解诱导公式就是把大角变小角
sin \sin sin( α \alpha α+ 2kπ) = sin \sin sin α \alpha α, k ∈ \in ∈Z
cos \cos cos( α \alpha α+ 2kπ) = cos \cos cos α \alpha α, k ∈ \in ∈Z
tan \tan tan( α \alpha α+ 2kπ) = tan \tan tan α \alpha α, k ∈ \in ∈Z
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例题2: sin \sin sin(-315°) = _____
sin \sin sin(-315°) = sin \sin sin(-315°+2π) = sin \sin sin(45°) = 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 22
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例题3: 在平面直角坐标系xoy中, 角 α \alpha α与角 β \beta β均以Ox为始边,他们的终边关于x轴对称, 若 sin \sin sin α \alpha α = 1 5 \frac{1}{5} 51, 则 sin \sin sin β \beta β = _____
答案: - 1 5 \frac{1}{5} 51
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例题4: 已知 sin \sin sin α \alpha α>0, cos \cos cos α \alpha α<0, 则角 α \alpha α是在第几象限?
答案: 第二象限
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例题5: 已知角 θ \theta θ终边上一点P(x,3)(x ≠ \neq = 0), 且 cos \cos cos θ \theta θ= 10 10 \frac{\sqrt{10}}{10} 1010 x, 求 sin \sin sin θ \theta θ______ 和 tan \tan tan θ \theta θ______
解: cos \cos cos θ \theta θ = x 9 + x 2 \frac{x}{\sqrt{9+x^2}} 9+x2x = 10 10 \frac{\sqrt{10}}{10} 1010x
解得: x= ± \pm ± 1
sin \sin sin θ \theta θ = 3 10 10 \frac{3\sqrt{10}}{10} 10310
tan \tan tan θ \theta θ = ± \pm ± 3
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四. 三角函数重要公式
sin \sin sinB = b a \frac{b}{a} ab
cos \cos cosB = c a \frac{c}{a} ac
tan \tan tanB = b c \frac{b}{c} cb
sin 2 \sin^2 sin2B + cos 2 \cos^2 cos2B = b 2 a 2 \frac{b^2}{a^2} a2b2+ c 2 a 2 \frac{c^2}{a^2} a2c2 = b 2 + c 2 a 2 \frac{b^2+c^2}{a^2} a2b2+c2 = 1
sin B cos B \frac{\sin B}{\cos B} cosBsinB = b a \frac{b}{a} ab / c a \frac{c}{a} ac = b c \frac{b}{c} cb = tan \tan tanB
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由此诞生两个重要公式
| sin 2 \sin^2 sin2 α \alpha α + cos 2 \cos^2 cos2 α \alpha α = 1 | tan \tan tan α \alpha α = sin α cos α \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} cosαsinα \quad ( α \alpha α ≠ \neq = π 2 \frac{π}{2} 2π+kπ (k ∈ \in ∈Z) |
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根据上面这两个公式推导 cos α \cos \alpha cosα 与 tan α \tan \alpha tanα的关系式
将 sin α \sin \alpha sinα = tan α \tan \alpha tanα cos \cos cos α \alpha α 代入 sin 2 \sin^2 sin2 α \alpha α + cos 2 \cos^2 cos2 α \alpha α = 1
tan 2 \tan^2 tan2 α \alpha α cos 2 \cos^2 cos2 α \alpha α + cos 2 \cos^2 cos2 α \alpha α = 1
cos 2 \cos^2 cos2 α \alpha α( tan 2 \tan^2 tan2 α \alpha α+1) = 1
cos 2 \cos^2 cos2 α \alpha α = 1 tan 2 α + 1 \frac{1}{\tan^2 \alpha+1} tan2α+11
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例题6: sin \sin sin α \alpha α = 1 3 \frac{1}{3} 31, 并且 α \alpha α是第二象限角, 求 cos \cos cos α \alpha α, tan \tan tan α \alpha α的值
解: sin 2 \sin^2 sin2 α \alpha α + cos 2 \cos^2 cos2 α \alpha α = 1
sin \sin sin α \alpha α = 1 3 \frac{1}{3} 31代入得 1 9 \frac{1}{9} 91 + cos 2 \cos^2 cos2 α \alpha α = 1
解得 cos \cos cos α \alpha α = - 2 2 3 \frac{2\sqrt{2}}{3} 322
tan \tan tan α \alpha α = - 2 4 \frac{\sqrt{2}}{4} 42
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例题7: 已知 sin \sin sin α \alpha α = - 3 5 \frac{3}{5} 53, 求 cos \cos cos α \alpha α, tan \tan tan α \alpha α的值
分析: 既然没有指明在第几象限, 而且 sin \sin sin α \alpha α为负, 所以三四象限都要考虑
sin 2 \sin^2 sin2 α \alpha α + cos 2 \cos^2 cos2 α \alpha α = 1
当 α \alpha α在第三象限时
cos \cos cos α \alpha α = - 4 5 \frac{4}{5} 54
tan \tan tan α \alpha α = 3 4 \frac{3}{4} 43
当 α \alpha α在第四象限时
cos \cos cos α \alpha α = 4 5 \frac{4}{5} 54
tan \tan tan α \alpha α = - 3 4 \frac{3}{4} 43
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例题8: 求证: cos x 1 − sin x \frac{\cos x}{1- \sin x} 1−sinxcosx = 1 + sin x cos x \frac{1+\sin x}{\cos x} cosx1+sinx
证明: 对角相乘得
cos 2 \cos^2 cos2 α \alpha α = (1- sin x \sin x sinx)(1+ sin x \sin x sinx)
cos 2 \cos^2 cos2 α \alpha α = 12- sin 2 x \sin^2 x sin2x
sin 2 \sin^2 sin2 α \alpha α + cos 2 \cos^2 cos2 α \alpha α = 1
∴ \therefore ∴ cos x 1 − sin x \frac{\cos x}{1- \sin x} 1−sinxcosx = 1 + sin x cos x \frac{1+\sin x}{\cos x} cosx1+sinx
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例题9: 如果 α \alpha α是第二象限的角, 则下列各式中成立的是
A. tan \tan tan α \alpha α= - sin a cos a \frac{\sin a}{\cos a} cosasina \quad \quad 本来 cos a \cos a cosa就为负, 不需要加负号
B. cos \cos cos α \alpha α= - 1 − sin 2 a \sqrt{1- \sin^2 a} 1−sin2a
C. sin \sin sin α \alpha α = - 1 − cos 2 a \sqrt{1- \cos^2 a} 1−cos2a \quad \quad \quad 应为正
D. tan \tan tan α \alpha α = cos a sin a \frac{\cos a}{\sin a} sinacosa \quad \quad 反了
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例题10: 已知 sin \sin sin α \alpha α = 5 5 \frac{\sqrt{5}}{5} 55, 则 sin 4 a \sin^4 a sin4a - cos 4 a \cos^4 a cos4a的值为____
sin 2 \sin^2 sin2 α \alpha α + cos 2 \cos^2 cos2 α \alpha α = 1
sin 2 \sin^2 sin2 α \alpha α = 1 5 \frac{1}{5} 51
cos 2 \cos^2 cos2 α \alpha α = 4 5 \frac{4}{5} 54
sin 4 a \sin^4 a sin4a - cos 4 a \cos^4 a cos4a = - 3 5 \frac{3}{5} 53
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例题11: 已知 θ \theta θ ∈ \in ∈ (0, π), sin θ \sin \theta sinθ + cos θ \cos \theta cosθ = 3 − 1 2 \frac{\sqrt{3}-1}{2} 23−1, 求 tan θ \tan \theta tanθ 的值
解:
两边平方得
sin 2 \sin^2 sin2 θ \theta θ + cos 2 \cos^2 cos2 θ \theta θ +2 cos θ \cos \theta cosθ sin θ \sin \theta sinθ = 2 − 3 2 \frac{2- \sqrt{3}}{2} 22−3
1 +2 cos θ \cos \theta cosθ sin θ \sin \theta sinθ = 2 − 3 2 \frac{2- \sqrt{3}}{2} 22−3
2 cos θ \cos \theta cosθ sin θ \sin \theta sinθ = - 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 23
cos θ \cos \theta cosθ sin θ \sin \theta sinθ = - 3 4 \frac{\sqrt{3}}{4} 43 \quad \quad (除1)
cos θ sin θ 1 \frac{\cos \theta \sin \theta}{1} 1cosθsinθ = cos θ sin θ sin 2 θ + cos 2 θ \frac{\cos \theta \sin \theta}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} sin2θ+cos2θcosθsinθ = tan θ tan 2 θ + 1 \frac{\tan \theta}{\tan^2 \theta+1} tan2θ+1tanθ = - 3 4 \frac{\sqrt{3}}{4} 43
解得 tan θ \tan \theta tanθ = - 3 3 \frac{\sqrt{3}}{3} 33 或 tan θ \tan \theta tanθ = - 3 \sqrt{3} 3
检验:
cos 2 \cos^2 cos2 θ \theta θ = 1 tan 2 θ + 1 \frac{1}{\tan^2 \theta+1} tan2θ+11
解得:
cos 2 \cos^2 cos2 θ \theta θ = 1 4 \frac{1}{4} 41 或 3 4 \frac{3}{4} 43
sin 2 \sin^2 sin2 θ \theta θ = 3 4 \frac{3}{4} 43 或 1 4 \frac{1}{4} 41
∵ \because ∵ θ \theta θ ∈ \in ∈ (0, π), sin \sin sin θ \theta θ为正, cos \cos cos θ \theta θ或正或负
sin \sin sin θ \theta θ = 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 23 或 1 2 \frac{1}{2} 21
cos \cos cos θ \theta θ = ± \pm ± 1 2 \frac{1}{2} 21 或 ± \pm ± 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 23
∵ \because ∵ sin θ \sin \theta sinθ + cos θ \cos \theta cosθ = 3 − 1 2 \frac{\sqrt{3}-1}{2} 23−1
∴ \therefore ∴ 只取 sin \sin sin θ \theta θ = 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 23, cos \cos cos θ \theta θ = - 1 2 \frac{1}{2} 21
∴ \therefore ∴ tan θ \tan \theta tanθ = - 3 \sqrt{3} 3
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例题12: tan α \tan \alpha tanα = 2 求 cos α − 5 sin α 3 cos α + sin α \frac{\cos \alpha-5\sin\alpha}{3\cos \alpha+\sin \alpha} 3cosα+sinαcosα−5sinα
上下除以 cos α \cos \alpha cosα 得
1 − 5 tan α 3 + tan α \frac{1- 5\tan \alpha}{3+\tan \alpha} 3+tanα1−5tanα = - 9 5 \frac{9}{5} 59