均值、方差、标准差

1 中间值和均值

表现＂中间值＂的统计名词：

• a.均值: 　　mean，数列的算术平均值，反应了数列的集中趋势,等于有效数值的合除以有效数值的个数．
• b.中位值: 　median，等于排序后中间位置的值，当数列长度为偶数时，取中间两个值的均值．
• c.众数: 　　mode，等于数列出现次数最多的数字，当多个数字都出现最高次数时，多个数字都是众数．

在统计学中，为了区分＂样本（抽样）概念＂和＂总体概念＂，将均值区分为样本均值和总体均值，而它们的实际大小是相同的．

总体均值： $\mu =\frac{{\sum }_{i=1}^N{X}_i}{N}$

样本均值： $\bar{x}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i}{n}$

2 总体方差

方差(variance) ${\sigma }^2$ 是衡量随机变量或一组数据离散程度的度量

总体方差公式 ${\sigma }^2=\frac{{\sum }_{i=1}^N(X_i-\mu {)}^2}{N}$

公式解析：

• 因为和样本数无关，所以分母为样本数
• 累加每个值和均值差值的平方，对应于每个值相对于均值的偏差，对应于离散程度，平方是对离散程度的加剧，同时能让差值总为正数，以符合偏差的概念意义。
• 显然，如果所有数值都乘以n倍，总体方差会乘以$n^2$倍
  总体方差的使用：[2,2,3,3]和[0,0,5,5]两组数据拥有相同的均值、中位值，但是离散程度却不相同，见下面程序解答。

import numpy as np
a1 = np.array([0,0,5,5])
a2 = np.array([2,2,3,3])
print(a1.var(),a2.var())
print(a1.std(),a2.std())

基于概率模型的总体方差

某种概率模型中得到0的概率为40%，得到1的概率为60%，这个模型实际上是一种伯努利验证，运行足够多次模型后，所有得到的值的方差为是多少呢？

样本方差