C++二分查找算法的应用：第 N 个神奇数字

涉及知识点

二分查找

题目

一个正整数如果能被 a 或 b 整除，那么它是神奇的。
给定三个整数 n , a , b ，返回第 n 个神奇的数字。因为答案可能很大，所以返回答案 对 109 + 7 取模 后的值。
示例 1：
输入：n = 1, a = 2, b = 3
输出：2
示例 2：
输入：n = 4, a = 2, b = 3
输出：6
提示：
1 <= n <= 109
2 <= a, b <= 4 * 104

分析

令f(x)等于[1,x]神奇数字的数量，寻找第一个f(x)大于等于n的x，用左开右闭的二分查找。结果一定在[1,max(a,b)*n]中。

神奇数字数量

神奇数字数量等于= 被a整除+ 被b整除 - 同时被a和b整除
同时被a和b整除：被a和b的最小公倍数整除，不是被a*b整除

代码

核心代码

int GCD(int n1, int n2)
{
int t1 = min(n1, n2);
int t2 = max(n1, n2);
if (0 == t1)
{
return t2;
}
return GCD(t2 % t1, t1);
}

class Solution {
public:
int nthMagicalNumber(int n, int a, int b) {
long long left = -1, right = max(a, b) * (long long)n ;
while (right - left > 1)
{
const auto mid = left + (right - left) / 2;
const long long llNum = mid / a + mid / b - mid /( a * b/GCD(a,b));
if( llNum >= n )
{
right = mid;
}
else
{
left = mid;
}
}
return right%(100010001000+7);
}
};

测试用例

template
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}

template
void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
Assert(v1[i], v2[i]);
}
}

int main()
{
vector grid;
int res = 0;
{
Solution slu;
res = slu.nthMagicalNumber(5, 2, 4);
Assert(10, res);
}
{
Solution slu;
res = slu.nthMagicalNumber(3, 4, 1000);
Assert(12, res);
}
{
Solution slu;
res = slu.nthMagicalNumber(4, 2, 3);
Assert(6, res);
}

//CConsole::Out(res);

}

左闭右开也可以，就是复杂些。

一，先找到最后一个f(x)<=n的x。
二，max(x-x%a,x-x%b);
比如： n =3 a =2 b =3 f(5)是最后一个等于3的x，结果是4。
class Solution {
public:
int nthMagicalNumber(int n, int a, int b) {
long long left = 0, right = max(a, b) * (long long)n+1 ;
while (right - left > 1)
{
const auto mid = left + (right - left) / 2;
const long long llNum = mid / a + mid / b - mid /( a * b/GCD(a,b));
if( llNum <= n )
{
left = mid;
}
else
{
right = mid;
}
}
left = max(left - left % a, left - left % b);
return left %(100010001000+7);
}
};

2023年3月旧代码

class Solution {
public:
int nthMagicalNumber(int n, int a, int b) {
const int iComMul = ab/GCD(a, b);
long long left = -1, right = max(a, b)(long long)n;
while (right > left + 1)
{
auto llMid = left + (right - left) / 2;
long long llNum = llMid / a + llMid / b - llMid / iComMul;
if (llNum >= n)
{
right = llMid;
}
else
{
left = llMid;
}
}
return right % (1000 * 1000 * 1000 + 7);
}
};

扩展阅读

视频课程

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洒家想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
墨家名称的来源：有所得以墨记之。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境：

VS2022 C++17