AcWing算法基础课----搜索与图论(二) 笔记 （最短路：Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA、Floyd）
搜索与图论
- 抽屉原理
- 常见的最短路问题
- 1. 朴素dijkstra算法
- 2. 堆优化版dijkstra
- 3. Bellman-Ford算法
- 4. spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法）
- 5. spfa判断图中是否存在负环
- 6. floyd算法
抽屉原理
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理
常见的最短路问题
源点：起点 汇点：终点
n 点数 m 边数
- 单源最短路
- 所有边权都是正数
a.朴素Dijkstra算法 O(n^2) 稠密图
b.堆优化版的Dijkstra算法 O(mlogn) 稀疏图 - 存在负权边
a.Bellman-Ford O(nm) 对边数有限制
b.SPFA 一般：O(m) 最坏 O(nm)
- 所有边权都是正数
- 多源汇最短路
- Floyd O(n^3)
最短路考察：建图（难点）<==> 如何把问题抽象成最短路问题
Dijkstra 基于 贪心
Floyd 基于 动态规划
Bellman 基于 离散数学
1. 朴素dijkstra算法
s:当前已确定最短距离的点
算法思路：
- 初始化距离
dist[1]=0 ,dist[i]=inf - 迭代
for(int i=0;i
a. 找到不在s中的距离最近的点 n^2次
b.t放到s中去 n次
c.用t更新其他点的距离if(dist[x]>disp[t]+w) dist[x]=disp[t]+w;m次
模板：
时间复杂是 O(n2+m), n 表示点数，m 表示边数
int g[N][N]; // 存储每条边
int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短路是否已经确定
// 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
{
int t = -1; // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
// 用t更新其他点的距离
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
st[t] = true;
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
2. 堆优化版dijkstra
堆：手写堆（n）、优先队列（m） python中set
算法思路：
- 初始化距离
dist[1]=0 ,dist[i]=inf - 迭代
for(int i=0;i
a. 找到不在s中的距离最近的点 n次
b.t放到s中去 n次
c.用t更新其他点的距离if(dist[x]>disp[t]+w) dist[x]=disp[t]+w;mlogn次
模板：
时间复杂度 O(mlogn), n 表示点数，m 表示边数
typedef pair<int, int> PII;
int n; // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定
void add(int u,int v,int k){ // 加边
e[idx]=v,w[idx]=k,ne[idx]=h[u],h[u]=idx++;
}
// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
heap.push({0, 1}); // first存储距离，second存储节点编号
while (heap.size())
{
auto t = heap.top();
heap.pop();
int ver = t.second, distance = t.first;
if (st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > distance + w[i])
{
dist[j] = distance + w[i];
heap.push({dist[j], j});
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
3. Bellman-Ford算法
基本思路：
n次迭代
for(int i=0;i<n;i++) {
+备份防止串联 memcpy(backup,dist,sizeof dist);
# 松弛操作
for(循环所有边)（随便存，结构体即可）更新
dist[b]=min(dist[b],dist[a]+w);
}
最后所有边满足三角不等式 ：dist[b]<=dist[a]+w
处理有负权边问题、有变数限制的最短路问题
求最短路时，若存在负权回路，则不一定存在最短路（若负环不在两点最短路路径上则无影响）
Bellman-Ford可求是否存在负权回路：若迭代第n次还有更新，存在一条路径上有n条边的最短路径，即存在负环
迭代k次，求得最短距离含义为：从源点经过不超过k条边到每一点的最短距离
模板：
时间复杂度 O(nm), n 表示点数，m 表示边数
注意在模板题中需要对下面的模板稍作修改，加上备份数组，详情见模板题。
int n, m; // n表示点数，m表示边数
int dist[N]; // dist[x]存储1到x的最短路距离
struct Edge // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
{
int a, b, w;
}edges[M];
// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
// 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
memcpy(backup,dist,sizeof dist);
for (int j = 0; j < m; j ++ )
{
int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
//dist[b]=min(dist[b],backup[a]+w);
if (dist[b] > dist[a] + w)
dist[b] = dist[a] + w;
}
}
if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1; // 防止+∞覆盖
return dist[n];
}
4. spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法）
对dist[b]=min(dist[b],backup[a]+w)这一过程做优化
出题人可能会卡O(nm)，网格图容易卡spfa
算法思路：
while(queue不空){
1. 取队头t
2. 用t更新t的所有出边，以t为起点的边，b放入queue
}
模板：
时间复杂度 平均情况下 O(m)，最坏情况下 O(nm), n 表示点数，m 表示边数
int n; // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
// 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
queue<int> q;
q.push(1);
st[1] = true;
while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
if (!st[j]) // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
5. spfa判断图中是否存在负环
if(cnt[i]>=n) 存在负环
模板：
时间复杂度是 O(nm), n 表示点数，m 表示边数
int n; // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N], cnt[N]; // dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
// 如果存在负环，则返回true，否则返回false。
bool spfa()
{
// 不需要初始化dist数组
// 原理：如果某条最短路径上有n个点（除了自己），那么加上自己之后一共有n+1个点，由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
q.push(i);
st[i] = true;
}
while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1;
if (cnt[j] >= n) return true; // 如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点（不包括自己），则说明存在环
if (!st[j])
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
return false;
}
6. floyd算法
邻接矩阵存图
模板：
时间复杂度是 O(n3), n 表示点数
初始化：
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (i == j) d[i][j] = 0;
else d[i][j] = INF;
// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd()
{
for (int k = 1; k <= n; k ++ )
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}