Acwing - 算法基础课 - 笔记（图论 · 一）
文章目录
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- 搜索与图论（一）
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- DFS和BFS
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- 概述
- DFS
- BFS
- 树与图的存储
- 树与图的深度优先遍历
- 树与图的宽度优先遍历
- 拓扑排序
搜索与图论（一）
本节讲的是，普通的DFS和BFS，树和图的存储，拓扑排序。
DFS和BFS
概述
DFS：深度优先搜索（Depth-First-Search）
BFS：宽度优先搜索（Breadth-First-Search）
DFS和BFS的对比
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DFS使用栈（stack）来实现，BFS使用队列（queue）来实现
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DFS所需要的空间是树的高度h，而BFS需要的空间是2h （DFS的空间复杂度较低）
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DFS不具有最短路的特性，BFS具有最短路的特性
通常来说，求“最短”的操作，都可以用BFS来做，而其他一些奇怪的操作，或者对空间复杂度要求比较高，则用DFS来做
DFS
DFS中的2个重要概念：
- 回溯：回溯的时候，一定要记得恢复现场
- 剪枝：提前判断某个分支一定不合法，直接剪掉该分支
DFS练习题：
acwing - 842: 排列数字
经典DFS问题，对于数n，其排列一共有n个位置，我们深搜从第一个位置开始枚举，直到第n个位置，每个位置放一个数字，而每个数字只能使用一次，所以对于1~n这n个数字，我们需要维护一个状态，来表示某个数字是否已经被使用过。当我们深搜到某个位置x时，若在这个位置之前，某个数k已经被使用过，则位置x上不能再放数k。即，每次在某一个位置上枚举数字，选择一个当前还未被使用过的数字，放置在该位置上，然后深搜下一个位置。记得回溯时，需要还原这个数字的状态。将这个数字从已被使用，还原为未被使用。另外需要一个path变量，来存储当前深搜所经过的路径，当深搜到叶子节点时，这个path即是一种排列，输出即可。
#includeacwing - 843: n-皇后问题
解法一：
首先经过思考和提炼，容易发现，每一行只能放一个皇后，则问题被精简成了，从第一行开始，到第n行，依次确定每一行的皇后的摆放位置。我们需要针对行，列，对角线，反对角线，维护状态变量。比如col[i]表示第i列上的状态，若col[i] = true，表示该列已经被一个皇后占用，该列上无法再放多一个皇后，同理，dg[i]表示第i条对角线的状态，rdg[i]表示第i条反对角线的状态。而由于我们是依次在每一行上摆放一个皇后，这就变相地保证了，每一行只有一个皇后，则行是不可能冲突的，所以就无需维护针对行的状态。另外需要注意，若棋盘是n × n，则一共有n列，n行，但对角线有2n - 1条，反对角线也是2n - 1条，可自行画图验证。我们需要确定对于一个点[x, y]，其所在的是第几条对角线，以及第几条反对角线，以及对角线，反对角线的编号从哪里开始。
#include解法二：
若不经过思考提炼，则更一般的做法（更暴力的做法）是：从棋盘的第一个位置[1, 1]依次枚举到最后一个位置[n,n]。每个位置都有两种选择：放或者不放皇后（这就对应了两个分支）。对比解法一，此时我们就需要多维护一个针对行的状态变量了。其余逻辑和解法一类似，只是需要对每个位置的点进行枚举
#include显然，解法二由于枚举了棋盘上的所有位置，其性能相比解法一要差一些
BFS
从左到右，一层一层的搜，所以叫宽度优先搜索。宽搜的基本框架：
1. 插入一个初始状态到queue中
2. while(queue非空)
2.1 把队头拿出来
2.2 扩展队头
3. end
BFS练习题
acwing - 844: 走迷宫
#include课后题：acwing - 845: 八数码
求的其实是个最小的操作步数，考虑用BFS来做。把每一种棋盘的状态，当作树中的一个节点，其实就是寻找初始状态，到最终状态，是否存在一个路径，并找出最短路。难点在于棋盘的状态表示，以及如何将状态进行存储，并记录每种状态之间的距离。
由于这道题涉及到的一些C++语法不是特别熟，所以就写了一版java的题解
import java.util.*;
/**
* @Author yogurtzzz
* @Date 2021/6/30 16:42
**/
public class Main {
static Scanner scanner = new Scanner(System.in);
public static void main(String[] args) {
// 读入初始状态
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for(int i = 0; i < 9; i++) {
String c = readString();
sb.append(c);
}
String initialState = sb.toString();
System.out.println(find(initialState));
}
static int find(String initialState) {
String finalState = "12345678x";
Queue<String> queue = new LinkedList<>();
Map<String, Integer> stepCount = new HashMap<>();
// 将初始状态push进去
queue.offer(initialState);
stepCount.put(initialState, 0);
int[] dx = {1, 0, -1, 0};
int[] dy = {0, 1, 0, -1};
// 使用BFS
while (!queue.isEmpty()) {
String s = queue.poll();
int currentCount = stepCount.get(s);
int pos = s.indexOf('x'); // 获取x的坐标
// 由于是 3 × 3 的矩阵, 转化一下, 得到二维坐标
int x = pos / 3;
int y = pos % 3;
// 枚举下一个状态(最多可能有4种)
for(int j = 0; j < 4; j++) {
int newX = x + dx[j];
int newY = y + dy[j];
if (newX >= 0 && newX < 3 && newY >= 0 && newY < 3) {
// 新的坐标没有超出边界, 则该状态是一种可能的状态
int newPos = newX * 3 + newY; // 二维坐标还原为一维坐标
char[] chars = s.toCharArray();
// 交换x和另一个数, 即交换pos和newPos
char temp = chars[pos];
chars[pos] = chars[newPos];
chars[newPos] = temp;
String nextState = new String(chars);
if (Objects.equals(nextState, finalState)) {
// 找到最终的状态
return currentCount + 1;
}
if (!stepCount.containsKey(nextState)) {
// 若先前没有出现过这种状态, 则加入, 因为是BFS, 若在先前出现过该状态, 则先前出现该状态时的步数一定更小
queue.offer(nextState);
stepCount.put(nextState, currentCount + 1);
}
}
}
}
return -1;
}
static String readString() {
return scanner.next();
}
}
C++题解：
#include 树与图的存储
首先，树是一种特殊的图（无环连通图）。所以，这里只说图的存储即可。
首先，图分为2种，有向图和无向图。
有向图中2个点之间的边是有方向的，比如a -> b，则只能从a点走到b点，无法从b点走到a点。
无向图中2个点之间的边是没有方向的，比如a - b，则可以从a走到b，也可以从b走到a。
通常，我们可以将无向图看成有向图。比如上面，对a到b之间的边，我们可以建立两条边，分别是a到b的，和b到a的。
所以，我们只需要考虑，有向图如何存储，即可。通常有2种存储方式
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邻接矩阵
用一个二维数组来存，比如
g[a,b]存储的就是a到b的边。邻接矩阵无法存储重复边，比如a到b之间有2条边，则存不了。（用的较少，因为这种方式比较浪费空间，对于有n个点的图，需要n2的空间，这种存储方式适合存储稠密图） -
邻接表
使用单链表来存。对于有n个点的图，我们开n个单链表，每个节点一个单链表。单链表上存的是该节点的邻接点（用的较多）
树和图遍历有2种方式，深度优先遍历和宽度优先遍历。
我们只需要考虑有向图的遍历即可。
树与图的深度优先遍历
由于遍历时，每个点最多只会被遍历一次，所以深度优先遍历的时间复杂度是O(n+m)，
n是节点数，m是边数
练习题：acwing - 846: 树的重心
（深度优先遍历，可以算出每个子树所包含的节点个数）
#include树与图的宽度优先遍历
练习题：acwing - 847: 图中点的层次
#include拓扑排序
图的宽度优先搜索的应用，求拓扑序（拓扑序是针对有向图的）
什么是拓扑序：将一个图的很多节点，排成一个序列，使得图中的所有边，都是从前面的节点，指向后面的节点。则这样一个节点的排序，称为一个拓扑序。
若图中有环，则一定不存在拓扑序。
可以证明，一个有向无环图，一定存在一个拓扑序列。有向无环图，又被称为拓扑图。
对于每个节点，存在2个属性，入度和出度。
入度，即，有多少条边指向自己这个节点。
出度，即，有多少条边从自己这个节点指出去。
所有入度为0的点，可以排在当前最前面的位置。
算法流程：
将所有入度为0的点入队。
while(queue非空) {
t = queue.pop(); // 获取队头
枚举t的全部出边 t->j
删掉边t->j, j节点的入度减一
if(j的入度为0) 将j入队
}
一个有向无环图，一定存在至少一个入度为0的点，
练习题：acwing - 848: 有向图的拓扑序列
#include