【OpenCv】霍夫直线检测

前言

  Hough变换是实现边缘检测的一种有效方法，其基本思想是将测量空间的一点变换到参量空间的一条曲线或曲面，而具有同一参量特征的点变换后在参量空间中相交，通过判断交点处的积累程度来完成特 征曲线的检测。

1 原理

  保罗·哈夫于1962年提出了Hough变换法，并申请了专利。该方法 将图像空间中的检测问题转换到参数空间，通过在参数空间里进行简单的累加统计完成检测任务，并用大多数边界点满足的某种参数形式来描述图像的区域边界曲线。这种方法对于被噪声干扰或间断区域边界的图像具有良好的容错性。Hough变换最初主要应用于检测图像空间中的直线，最早的直线变换是在两个笛卡儿坐标系之间进行的，这给检测斜率无穷大的直线带来了困难。1972年，杜达（Duda）将变换形式进行了转化，将数据空间中的点变换为$\rho -\theta$参数空间中的曲线，改善了其检测直线的性能。该方法被不断地研究和发展，在图像分析、计算机视觉、模式识别等领域得到了非常广泛的应用，已经成为模式识别的一种重要工具。
  直线的方程可由下面式子表示：
$$\begin{array}{rl}& y=kx+b\end{array}$$
其中，$k$和$b$分别是斜率和截距。现在将$y=kx+b$转换成$b=-xk+y$，因为$k$和$b$都是确定值所以在$x-y$平面上的一条线在$k-b$平面上代表一个点。

反过来在$k-b$平面上的一条直线$b=-xk+y$在$x-y$平面上代表一个点，因为此时$x$和$y$在直线$b=-xk+y$中分别是斜率和截距为定值。
其次是过$x-y$平面上的某一点（$x_0$，$y_0$） 的所有直线的参数都满足方程$y_0=k{x}_0+b$。即过$x-y$平面上点（$x_0$，$y_0$）的一族直线在参数$k-b$平面上对应于一条直线。同样的道理将该族直线$y_0=k{x}_0+b$转变到$k-b$平面上有$b=-x_{0}k+y_0$，此时斜率($-x_0$)和斜距($y_0$)固定，$b$为$k$的函数，所以在$k-b$平面上对应于一条直线。

有了上面的知识，再来看看在$x-y$平面上三点共线是怎么等效到到$k-b$平面的。
可以看出如果笛卡尔坐标系的点共线，这些点在霍夫空间对应的直线交于一点：这也是必然，共线只有一种取值可能。再来考虑特殊情况，当三点共线恰好垂直$x$轴呢？此时直线的斜率$k$为无穷大，$y=kx+b$形式的直线方程无法表示$x=c$（$c$为常数）形式的直线。所以在实际应用中，一般采用距离和角度参数方程来表示如下：
$$\begin{array}{rl}& \rho =xcos\theta +ysin\theta \end{array}$$
其中，$\rho$为原点到直线的垂直距离，$\theta$为$\rho$与$x$轴的夹角，转换过程如下，注意的是这个并不是极坐标表达式，只是形式写起来跟极坐标的形式是一样的。这是因为$\rho$和$\theta$都是固定的，对应唯一的直线，而如果是极坐标，那其他对的$\rho$和$\theta$也会满足这一直线。

  根据$\rho =xcos\theta +ysin\theta$，直线上不同的点在参数空间中被变换为一族相交于$p$点的正弦曲线，因此可以通过检测参数空间中的局部最大值$p$点，来实现$x-y$坐标系中直线的检测。

2 算法流程

①将参数空间量化成$m\times n$（$m$为$\theta$的等份数，$n$为$\rho$的等份数）个单元，并设置累加器矩阵$Q[m\times n]$；
②给参数空间中的每个单元分配一个累加器$Q$(${\theta }_i$，$p_j$)（$0<i<m-1$， $0<j<n-1$），并把累加器的初始值置为零；
③将直角坐标系中的各点（$x_k$，$y_k$）（$k=1$，$2$，…，$s$，$s$为直角坐 标系中的点数）代入式$\rho =xcos\theta +ysin\theta$，然后将${\theta }_0～{\theta }_{m-1}$也都代入其中，分别计算出相应的值$p_j$；
④在参数空间中，找到每一个（${\theta }_i$，$p_j$）所对应的单元，并将该 单元的累加器加1，即$Q$(${\theta }_i$，$p_j$) $=$ $Q$(${\theta }_i$，$p_j$) $+1$，对该单元进行一次投票；
⑤待$x-y$坐标系中的所有点都进行运算之后，检查参数空间的累加 器，必有一个出现最大值，这个累加器对应单元的参数值作为所求直线的参数输出。当然你可以指定一个阈值，就是投票数达到多少就可以认定为一条直线，这样就可以一次性输出多条直线。
例子：
将$r$($p$)分成了9份，区间是[0，9]，$r$一定是取有效值，因为我们的图像的最长直线就是其对角线；然后将$\theta$以90°为步长分成了4个区间，当然你可以分成你想要的$\theta$区间。然后开始遍历 Canny 图像(很关键，我们在利用霍夫变换进行直线检测时，要先对图像进行边缘检测)。

遇到黑点直接跳过，我们只关注白点。然后将每个白点的坐标($x_0$，$y_0$)和四个角度$\theta$(${\theta }_1=90°$，${\theta }_2=180°$，${\theta }_3=270°$，${\theta }_4=360°$)带入到$r=xcos\theta +ysin\theta$中，得到对应的$r_1$，$r_2$，$r_3$，$r_4$，根据这些$r$值在对应区间进行投票。不断重复上述步骤直至图像遍历完毕。就可以根据$r$的投票数来确定直线。

3 优缺点

  霍夫变换是一种全局性的检测方法，具有极佳的抗干扰能力，可 以很好地抑制数据点集中存在的干扰，同时还可以将数据点集拟合成多条直线。但是，霍夫变换的精度不容易控制，参数的微变就可能影响效果的大幅度变化，因此，不适合对拟合直线的精度要求较高的实际问题。同时，它所要求的巨大计算量使其处理速度很慢，从而限制了它在实时性要求很高的领域的应用