算法-算法的基本框架思想

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提示：

我想说算法的本质就是穷举。
穷举有两个关键难点：无遗漏、无冗余。

算法的基本框架思想

一、二叉树的基本框架

二叉树题目的重要性，我提到二叉树算法是所有递归算法的根本，动态规划、回溯算法、图论算法等高级算法底层都是二叉树算法的思想。

1、很多动态规划问题就是在遍历一棵树，你如果对树的遍历操作烂熟于心，起码知道怎么把思路转化成代码，也知道如何提取别人解法的核心思路。

2、再看看回溯算法，后文 回溯算法详解 干脆直接说了，回溯算法就是个 N 叉树的前后序遍历问题，没有例外。

3、比如全排列问题吧，本质上全排列就是在遍历下面这棵树，到叶子节点的路径就是一个全排列：

1、二叉树的前序遍历

List res = new LinkedList<>();

// 返回前序遍历结果
List preorder(TreeNode root) {
    traverse(root);
    return res;
}

// 二叉树遍历函数
void traverse(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    // 前序遍历位置
    res.add(root.val);
    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}

2、二叉树的前序遍历优化

// 定义：输入一棵二叉树的根节点，返回这棵树的前序遍历结果
List preorder(TreeNode root) {
    List res = new LinkedList<>();
    if (root == null) {
        return res;
    }
    // 前序遍历的结果，root.val 在第一个
    res.add(root.val);
    // 后面接着左子树的前序遍历结果
    res.addAll(preorder(root.left));
    // 最后接着右子树的前序遍历结果
    res.addAll(preorder(root.right));
    return res;
}

2、二叉树的遍历基本框架

void traverse(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    // 前序位置
    traverse(root.left);
    // 中序位置
    traverse(root.right);
    // 后序位置
}

1、二叉树模型几乎是所有高级算法的基础，尤其是那么多人说对递归的理解不到位，更应该好好刷二叉树相关题目。

2、二叉树题目的递归解法可以分两类思路，第一类是遍历一遍二叉树得出答案，第二类是通过分解问题计算出答案，这两类思路分别对应着 回溯算法核心框架 和 动态规划核心框架。

二、回溯算法的基本框架

1、路径：也就是已经做出的选择。

2、选择列表：也就是你当前可以做的选择。

3、结束条件：也就是到达决策树底层，无法再做选择的条件

1、基本框架

result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)
        return
    
    for 选择 in 选择列表:
        做选择
        backtrack(路径, 选择列表)
        撤销选择

2、核心框架

###  回溯算法核心框架 

// 记录所有全排列
List> res = new LinkedList<>();
LinkedList track = new LinkedList<>();

/* 主函数，输入一组不重复的数字，返回它们的全排列 */
List> permute(int[] nums) {
    backtrack(nums);
    return res;
}

// 回溯算法框架
void backtrack(int[] nums) {
    if (track.size() == nums.length) {
		// 穷举完一个全排列
        res.add(new LinkedList(track));
        return;
    }
    
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (track.contains(nums[i]))
            continue;
		// 前序遍历位置做选择
        track.add(nums[i]);
        backtrack(nums);
        // 后序遍历位置取消选择
        track.removeLast();
    }
}

3、全排列的核心框架

## 全排序的主要算法 
void backtrack(int[] nums, LinkedList track) {
    if (track.size() == nums.length) {
        res.add(new LinkedList(track));
        return;
    }
    
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (track.contains(nums[i]))
            continue;
        track.add(nums[i]);
        // 进入下一层决策树
        backtrack(nums, track);
        track.removeLast();
    }
}        

4、核心思想

1、回溯算法是对树形或者图形结构执行一次深度优先遍历，实际上类似枚举的搜索尝试过程，在遍历的过程中寻找问题的解。

2、深度优先遍历有个特点：当发现已不满足求解条件时，就返回，尝试别的路径。此时对象类型变量就需要重置成为和之前一样，称为「状态重置」。

3、许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有「通用解题方法」的美称。实际上，回溯算法就是暴力搜索算法，它是早期的人工智能里使用的算法，借助计算机强大的计算能力帮助我们找到问题的解。

三、动态规划的基本框架

1、动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，并且记录所有子问题的结果，因此动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。

2、动态规划有自底向上和自顶向下两种解决问题的方式。自顶向下即记忆化递归，自底向上就是递推。

3、使用动态规划解决的问题有个明显的特点，一旦一个子问题的求解得到结果，以后的计算过程就不会修改它，这样的特点叫做无后效性，求解问题的过程形成了一张有向无环图。动态规划只解决每个子问题一次，具有天然剪枝的功能，从而减少计算量。

4、动态规划系列问题的核心原理，无非就是先写出暴力穷举解法（状态转移方程），加个备忘录就成自顶向下的递归解法了，再改一改就成自底向上的递推迭代解法了， 动态规划的降维打击 里也讲过如何分析优化动态规划算法的空间复杂度。

1、自顶向下递归的动态规划

def dp(状态1, 状态2, ...):
    for 选择 in 所有可能的选择:
        # 此时的状态已经因为做了选择而改变
        result = 求最值(result, dp(状态1, 状态2, ...))
    return result

2、自顶向下递归的动态规划

# 初始化 base case
dp[0][0][...] = base case
# 进行状态转移
for 状态1 in 状态1的所有取值：
    for 状态2 in 状态2的所有取值：
        for ...
            dp[状态1][状态2][...] = 求最值(选择1，选择2...

0-1 背包的解题框架

int knapsack(int W, int N, int[] wt, int[] val) {
    assert N == wt.length;
    // base case 已初始化
    int[][] dp = new int[N + 1][W + 1];
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int w = 1; w <= W; w++) {
            if (w - wt[i - 1] < 0) {
                // 这种情况下只能选择不装入背包
                dp[i][w] = dp[i - 1][w];
            } else {
                // 装入或者不装入背包，择优
                dp[i][w] = Math.max(
                    dp[i - 1][w - wt[i-1]] + val[i-1], 
                    dp[i - 1][w]
                );
            }
        }
    }
    
    return dp[N][W];
}

四、链表的基本框架

1、单链表常考的技巧就是双指针

## 返回链表的倒数第 k 个节点
ListNode findFromEnd(ListNode head, int k) {
    ListNode p1 = head;
    // p1 先走 k 步
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        p1 = p1.next;
    }
    ListNode p2 = head;
    // p1 和 p2 同时走 n - k 步
    while (p1 != null) {
        p2 = p2.next;
        p1 = p1.next;
    }
    // p2 现在指向第 n - k + 1 个节点，即倒数第 k 个节点
    return p2;
}

head->1->2->3->4->5->6->7->8->9->10->null
一共10个节点

1、迭代遍历单链表

void traverse(ListNode head) {
    for (ListNode p = head; p != null; p = p.next) {

    }
}

x

2、递归遍历单链表

void traverse(ListNode head) {
    if (head == null) {
        return;
    }
    // 前序位置
    traverse(head.next);
    // 后序位置
}

五、数组的基本框架

1、数组常用的技巧有很大一部分还是双指针相关的技巧，说白了是教你如何聪明地进行穷举。

2、数字组合的和等于目标和嘛。比较聪明的方式是先排序，利用双指针技巧快速计算结果。

1、迭代遍历数组

void traverse(int[] arr) {
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {

    }
}

2、递归遍历数组

void traverse(int[] arr, int i) {
    if (i == arr.length) {
        return;
    }
    // 前序位置
    traverse(arr, i + 1);
    // 后序位置
}

六、双指针的基本框架

1、双指针从广义上来说，是指用两个变量在线性结构上遍历而解决的问题。

2、对于数组，指两个变量在数组上相向移动解决的问题。

3、对于链表，指两个变量在链表上同向移动解决的问题，也称为「快慢指针」问题。

4、在处理数组和链表相关问题时，双指针技巧是经常用到的，

5、双指针技巧主要分为两类：左右指针和快慢指针。

6、所谓左右指针，就是两个指针相向而行或者相背而行。

7、而所谓快慢指针，就是两个指针同向而行，一快一慢。

8、只要数组有序，就应该想到双指针技巧。这道题的解法有点类似二分查找，通过调节 left 和 right 就可以调整 sum 的大小。

1、快慢指针框架

Node slow = head.next;

Node fast = head.next;

while(fast != null&& fast.next != null) {
    // 快指针走两步
    fast = fast.next.next;

    // 慢指针走一步
    slow = slow.next;
}

1、左右指针框架

int left = 0, right = 0;

while (right < s.size()) {
    // 增大窗口
    window.add(s[right]);
    right++;
    
    while (window needs shrink) {
        // 缩小窗口
        window.remove(s[left]);
        left++;
    }
}

七、滑动窗口的基本框架

1、滑动窗口算法技巧，典型的快慢双指针，快慢指针中间就是滑动的「窗口」，主要用于解决子串问题。

2、滑动窗口也是有其限制的，就是你必须明确的知道什么时候应该扩大窗口，什么时候该收缩窗口。

3、滑动窗口指的是这样一类问题的求解方法，在数组上通过双指针同向移动而解决的一类问题。

4、使用滑动窗口解决的问题通常是暴力解法的优化，掌握这一类问题最好的办法就是练习，然后思考清楚为什么可以使用滑动窗口。

1、滑动窗口算法框架

## 其中两处 ... 表示的更新窗口数据的地方，到时候你直接往里面填就行了。
## 这两个 ... 处的操作分别是扩大和缩小窗口的更新操作，等会你会发现它们操作是完全对称的
void slidingWindow(string s) {
    unordered_map window;
    
    int left = 0, right = 0;
    while (right < s.size()) {
        // c 是将移入窗口的字符
        char c = s[right];
        // 增大窗口
        right++;
        // 进行窗口内数据的一系列更新
        ...

        /*** debug 输出的位置 ***/
        // 注意在最终的解法代码中不要 print
        // 因为 IO 操作很耗时，可能导致超时
        printf("window: [%d, %d)\n", left, right);
        /********************/
        
        // 判断左侧窗口是否要收缩
        while (window needs shrink) {
            // d 是将移出窗口的字符
            char d = s[left];
            // 缩小窗口
            left++;
            // 进行窗口内数据的一系列更新
            ...
        }
    }
}

八、分治算法

1、分治法是构建基于多项分支递归的一种很重要的算法范式。字面上的解释是「分而治之」，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

2、这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法（快速排序、归并排序）、傅立叶变换（快速傅立叶变换）。

九、递归算法

1、递归是计算机科学中的一个重要概念。它是许多其他算法和数据结构的基础。

2、每当递归函数调用自身时，它都会将给定的问题拆解为子问题。递归调用继续进行，直到到子问题成为一个不可以拆分的、可以直接求解的最简单问题。

3、为了确保递归函数不会导致无限循环，它需要包含：
一个简单的基本案例（basic case）（或一些案例）， 能够不使用递归来产生答案的终止方案。
一组规则，也称作递推关系（recurrence relation），可将所有其他情况拆分到基本案例。
注意，函数可能会有多个位置进行自我调用（这是分治算法）。

十、涉及字符串算法

字符串往往由特定字符集内有限的字符组合而成，根据其特点，对字符串的 操作 可以归结为以下几类：

1、字符串的比较、连接操作（不同编程语言实现方式有所不同）；
2、涉及子串的操作，比如前缀，后缀等；
3、字符串间的匹配操作，如 KMP 算法、BM 算法等。

字符串排序，按字典排列字符串，可以调用Arrays.sort API，也可以使用PriorityQueue，还可以自己实现Comparator

十一、Rabin-Karp 算法基础

1、算法的核心思路就是不断向最低位（个位）添加数字

2、删除数字的最高位

用 R 表示数字的进制数，用 L 表示数字的位数，就可以总结出如下公式：

/* 在最低位添加一个数字 */
int number = 8264;
// number 的进制
int R = 10;
// 想在 number 的最低位添加的数字
int appendVal = 3;
// 运算，在最低位添加一位
number = R * number + appendVal;
// 此时 number = 82643

/* 在最高位删除一个数字 */
int number = 8264;
// number 的进制
int R = 10;
// number 最高位的数字
int removeVal = 8;
// 此时 number 的位数
int L = 4;
// 运算，删除最高位数字
number = number - removeVal * R^(L-1);
// 此时 number = 264

十二、二分算法基础

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
    }
    return -1;
}

1、初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。

2、这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。

3、这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。