离散数学 命题符号化及联结词
命题符号化及联结词
0x00 前置知识
命题：能判断真假的陈述句，是具有唯一真值的陈述句
命题符号化：使用小写的英文字母 p , q , r , . . . , q i , p i , r i , . . . {p},{q},{r},{...},{q_i},{p_i},{r_i},{...} p,q,r,...,qi,pi,ri,... 来表示命题
例1-1：
p : 2 是 素 数 q : 雪 是 黑 的 {p}: 2是素数 \\ {q}: 雪是黑的 p:2是素数q:雪是黑的
0x10 简单命题
据教科书的定义，把不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为简单命题（有逻辑书称为原子命题）．认为简单命题是逻辑演算最基本的单位，应被看做是一个不可再分割的整体．例如，“3是12的约数”、“0．5是整数”，它们都是简单命题．
在例1-1中p,q的真值是确定的，此时 p , q {p},{q} p,q 又被称为命题常项（有书称为命题常元）
而对于像例1-2：
p : x + y > 7 {p}:{x}+{y}>7 p:x+y>7
这样的命题，当 x , y {x},{y} x,y 的值确定下来以后命题的真值才能确定的这种 真值可以变化的简单陈述句 称为命题变项（命题变元）
注：命题变项不是命题
0x20 复合命题
由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题．例如，“20可被4或5整除”、“平行四边形的对边相等且平行”、“2非素数”，上述三个命题都是复合命题，因为它们分别含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”．
例1-3：
p : 3 不 是 偶 数 q : 2 是 偶 数 和 素 数 r : 林 芳 学 过 日 语 或 英 语 {p}:{3不是偶数} \\ {q}:{2是偶数和素数} \\ {r}:{林芳学过日语或英语} p:3不是偶数q:2是偶数和素数r:林芳学过日语或英语
0x30 联结词运算优先级
¬ 、 ⋀ 、 ⋁ 、 → 、 ↔ \neg、\bigwedge、\bigvee、\rightarrow、\leftrightarrow ¬、⋀、⋁、→、↔
联结词也称作逻辑运算符，在运算时有优先级，有括号先算括号里的内容，然后按照上面的优先级进行运算
命题一般以 1来表示真，0来表示假
| p {p} p | q {q} q | p ⋀ q {p}\bigwedge{q} p⋀q | p ⋁ q {p}\bigvee{q} p⋁q | p → q {p}\rightarrow{q} p→q | p ↔ q {p}\leftrightarrow{q} p↔q |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0x90 课后习题
解：（1）
设 : p : 2 是 偶 数 . q : 2 是 素 数 故 : 可 用 p ⋀ q 表 示 2 是 偶 数 又 是 素 数 {设}:{p}:2是偶数.{q}:2是素数\\ 故:可用{p}\bigwedge{q}表示2是偶数又是素数 设:p:2是偶数.q:2是素数故:可用p⋀q表示2是偶数又是素数
（2）
设 : p : 小 王 聪 明 . q : 小 王 用 功 故 : 可 用 p ⋀ q 来 表 示 小 王 不 但 聪 明 而 且 用 功 {设}:{p}:小王聪明.{q}:小王用功\\ {故}:可用{p}\bigwedge{q}来表示小王不但聪明而且用功 设:p:小王聪明.q:小王用功故:可用p⋀q来表示小王不但聪明而且用功
（3）
设 : p : 天 气 很 冷 . q : 老 王 来 了 故 可 用 p ⋀ q 来 表 示 虽 然 天 气 很 冷 ， 老 王 还 是 来 了 设:{p}:天气很冷.{q}:老王来了\\ 故可用{p}\bigwedge{q}来表示虽然天气很冷，老王还是来了 设:p:天气很冷.q:老王来了故可用p⋀q来表示虽然天气很冷，老王还是来了
（4）
设 : p : 他 吃 饭 . q : 他 看 电 视 故 可 用 p ⋀ q 来 表 示 他 一 边 吃 饭 一 边 看 电 视 设:{p}:他吃饭.{q}:他看电视\\ 故可用{p}\bigwedge{q}来表示他一边吃饭一边看电视 设:p:他吃饭.q:他看电视故可用p⋀q来表示他一边吃饭一边看电视
（5）
设 : p : 天 下 大 雨 . q : 他 乘 公 交 汽 车 上 班 故 可 用 p → q 如 果 天 下 大 雨 他 就 乘 公 交 车 设:{p}:天下大雨.{q}:他乘公交汽车上班\\ 故可用{p}\rightarrow{q}如果天下大雨他就乘公交车 设:p:天下大雨.q:他乘公交汽车上班故可用p→q如果天下大雨他就乘公交车
（6）
设 : p : 天 下 大 雨 . q : 他 乘 公 交 汽 车 上 班 故 可 用 q → p 只 有 天 下 大 雨 ， 他 才 乘 公 共 汽 车 上 班 设:{p}:天下大雨.{q}:他乘公交汽车上班\\ 故可用{q}\rightarrow{p}只有天下大雨，他才乘公共汽车上班 设:p:天下大雨.q:他乘公交汽车上班故可用q→p只有天下大雨，他才乘公共汽车上班
（7）
设 : p : 天 下 大 雨 . q : 他 乘 公 交 汽 车 上 班 故 可 用 q → p 除 非 天 下 大 雨 ， 否 则 他 不 乘 公 交 汽 车 上 班 设:{p}:天下大雨.{q}:他乘公交汽车上班\\ 故可用{q}\rightarrow{p}除非天下大雨，否则他不乘公交汽车上班 设:p:天下大雨.q:他乘公交汽车上班故可用q→p除非天下大雨，否则他不乘公交汽车上班
总结：命题符号化，需要将命题先转换成简单命题，值得注意的是符号化的p,q不能带不，非这样的文字
解：（1）
∵ p , q 的 真 值 为 0 ， r 的 真 值 为 1 ∴ q ⋀ r 的 真 值 为 0 ∴ p ⋁ ( q ⋀ r ) 的 真 值 为 0 \because{p},{q}的真值为0，{r}的真值为1\\ \therefore{q}\bigwedge{r}的真值为0\\ \therefore{p}\bigvee({q}\bigwedge{r})的真值为0 ∵p,q的真值为0，r的真值为1∴q⋀r的真值为0∴p⋁(q⋀r)的真值为0
（2）
∵ p ↔ r 的 真 值 为 0 ， ¬ q ⋁ s 的 真 值 为 1 ∴ ( p ↔ q ) ⋀ ( ¬ q ⋁ s ) 的 真 值 为 0 \because{p}\leftrightarrow{r}的真值为0，\neg{q}\bigvee{s}的真值为1\\ \therefore ({p}\leftrightarrow{q})\bigwedge(\neg{q}\bigvee{s})的真值为0 ∵p↔r的真值为0，¬q⋁s的真值为1∴(p↔q)⋀(¬q⋁s)的真值为0
（3）
∵ q ⋁ r 的 真 值 为 1 , p ⋁ q 的 真 值 为 0 ， r ⋀ s 的 真 值 为 1 ∴ ( p ⋀ ( q ⋁ r ) ) → ( ( p ⋁ q ) ⋀ ( r ⋀ s ) ) 的 真 值 为 1 \because{q}\bigvee{r}的真值为1,{p}\bigvee{q}的真值为0，{r}\bigwedge{s}的真值为1\\ \therefore({p}\bigwedge({q}\bigvee{r}))\rightarrow(({p}\bigvee{q})\bigwedge({r}\bigwedge{s}))的真值为1 ∵q⋁r的真值为1,p⋁q的真值为0，r⋀s的真值为1∴(p⋀(q⋁r))→((p⋁q)⋀(r⋀s))的真值为1
0x100 参考资料
屈婉婷《离散数学（第五版）》——第一章 命题逻辑
公式使用LaTeX