【源码复现】图神经网络之PPNP/APPNH

1、论文简介

• 论文题目——《PREDICT THEN PROPAGATE: GRAPH NEURAL NETWORKS MEET PERSONALIZED PAGERANK》
• 论文作者——Johannes Klicpera, Aleksandar Bojchevski & Stephan Gu ̈nnemann
• 论文地址——PREDICT THEN PROPAGATE: GRAPH NEURAL NETWORKS MEET PERSONALIZED PAGERANK
• 源码——源码链接

2、论文核心介绍

2.1、现有方法局限

 现有的方法，仅仅使用了局部有限的邻域信息，更大的邻域信息并没有考虑到。例如，GCN，它采用平均的方法来聚合一阶邻域信息，通过堆叠多层来考虑到更高阶的邻域信息（论文中实际是两层）；GAT则是采用注意力机制来学习不同邻域结点信息对当前结点的重要性，也就是说它是对周围邻域结点信息的加权平均。上述方法仍然是浅层的网络，并没有利用到深层邻域信息。
 现有方法的另外一个缺点就是过平滑现象（oversmoothing），这也是GCN不能堆叠多层的原因所在。另有作者，通过建立GCN和随机游走（random walk）的关系，发现当GCN的层数增加，GCN会收敛到随机游走的极限分布，会使不同类的结点之间变得不可分，导致GCN性能下降。
 为了解决上述的问题，作者提出了一个新的传播方案，这个方案的灵感来自于个性化PageRank算法，它平衡了局部邻域信息与更大的邻域信息的需要，允许更多的传播步骤而不会导致过平滑现象。此外，作者将神经网络从信息传播中分开来，允许去实现更大范围的传播而不用改变神经网络结构，由于这种特性，也可以将SOTA预测方法与文中的传播方案进行融合。

2.2、PageRank&Personalized PageRank

 PageRank算法通过网页链接重要性得分计算。重要性可认为是网页链接点击。PageRank算法给定一个概率值，定义为网页访问的概率。一般地， $\frac{1}{N}$ 表示为每个网页节点初始化的概率， $\mathrm{PR}$也是一个初始化的概率值。PageRank 是一个迭代算法，因此$\mathrm{PR}$ 值初始化$\frac{1}{N}$ ，$N$表示为节点的数量。 $\mathrm{PR}$值的总和一般为1，当$\mathrm{PR}$越大，说明重要性越大。
给定节点$v$，求节点$v$的$\mathrm{PR}$值，
$$PR(v)=\sum _{u\in {\mathcal{N}}_v}\frac{PR(u)}{O(u)}$$
${\mathcal{N}}_v$表示所有链接到节点$v$的集合。$O(u)$表示节点$u$的对外链接数。最早提出的PageRank算法存在着一些缺点，例如当一些节点存在自链接，或者是一些节点的出链节点形成循环圈时，PageRank在迭代过程中会出现$\mathrm{PR}$持续增大，不会减小的情况。对于上述问题，PageRank算法被重新进行改进
$$\mathrm{PR}(\mathrm{v})=\alpha \sum _{\mathrm{u}\in {\mathcal{N}}_v}\frac{\mathrm{PR}(\mathrm{u})}{\mathrm{O}(\mathrm{u})}+\frac{(1-\alpha )}{\mathrm{N}}$$
$\alpha$是一个超参数，取值一般为0.85。 $\alpha$表示节点跳转时的概率，不依据节点之间的链接进行跳转。
 PageRank算法衍生出的模型个性化的PageRank算法，主要利用图中节点的链接关系来迭代计算节点的权重。PageRank算法使用随机游走的策略来访问图中节点。PageRank算法与个性化Page Rank算法的区别在于随机游走时的跳转行为不同。个性化的PageRank算法对跳转行为进行约束，指定调转到的对外链接为特定的节点。例如在个性化排序时，用户只能跳转到一些特定的节点，这些节点表示用户偏好的那些节点。

$${\text{PPR}}^{{}^{\prime }}(\mathrm{v})=\alpha \sum _{\mathrm{u}\in {\mathcal{N}}_v}\frac{\mathrm{PR}(\mathrm{u})}{\mathrm{O}(\mathrm{u})}+(1-\alpha ){\mathrm{r}}_{\mathrm{v}}$$
$${\mathrm{r}}_{\mathrm{v}}=\{\begin{array}{ll}1& \mathrm{v}=\mathrm{u}\\ 0& \mathrm{v}\ne \mathrm{u}\end{array}$$
个性化PageRank算法中，用户的偏好表示为$\mathrm{r}|\mathrm{v}|=1$,原始的PageRank采用的计算方式为${\Pi }_{pr}=A_{rw}{\Pi }_{pr}$,${\Pi }_{pr}是A_{rw}$的特征向量，$A_{rw}=A{D}^{-1}$。类似的，个性化的PageRank 算法可以表示为

$${\Pi }_{\mathrm{ppr}}({\mathbf{i}}_{\mathbf{x}})=(1-\alpha )\tilde{A}{\Pi }_{\mathrm{ppr}}({\mathbf{i}}_{\mathbf{x}})+\alpha {\mathbf{i}}_{\mathbf{x}}$$
参考连接

2.3、PPNP&APPNP

 上一节，我们知道了Personalized PageRank算法及其他的表达式，对上式进行求解，求得${\Pi }_{\mathrm{ppr}}$为
$${\Pi }_{\mathrm{ppr}}({\mathbf{i}}_{\mathbf{x}})=\alpha ({\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}-(1-\alpha )\tilde{\mathbf{A}}{)}^{-1}{\mathbf{i}}_{\mathbf{x}}$$
其中，$\tilde{A}={\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}\hat{A}{\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}，\hat{A}=A+I，{\mathrm{i}}_{\mathrm{x}}是传送向量$。最终的PPNP算法公式表达如下：
$$Z_{\mathrm{ppnp}}=\mathrm{softmax}(\alpha ({\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}-(1-\alpha )\tilde{\mathbf{A}}{)}^{-1}\mathbf{H})$$
$${\mathbf{H}}_{i,:}=f_{\theta }({\mathbf{X}}_{i,:})$$
其中$\mathbf{X}$是特征向量矩阵，$f_{\theta }$是具有参数集合$\theta$的神经网络，$\mathbf{H}\in R^{n\times c}$。
 由于在计算上式的时候，需要求矩阵的逆运算，这是一个耗时的操作，为了加速PPNP的训练速度，作者采用一种近似操作来求解，称为APPNP。
$$\begin{gathered} Z^{(0)}=H=f_{\theta }(\mathbf{X}), \\ {Z}^{(k+1)}=(1-\alpha )\tilde{A}{Z}^{(k)}+\alpha H, \\ {Z}^{(K)}=\mathrm{softmax}((1-\alpha )\tilde{A}{Z}^{(K-1)}+\alpha H) \end{gathered}$$
其中，$K$是迭代次数。作者也在后面的附录中也证明了APPNP当$K⟶\infty$时，收敛到PPNP，所以APPNP可以看作PPNP的迭代解。
模型的框架如下图所示：

3、源码复现

模型复现源码链接链接：点我点我 提取码：6666

3.1、模型总体框架

import torch
from torch.nn import Module
import torch.nn as nn
from torch.nn import functional as F
import numpy as np

class PPNP(nn.Module):
    def __init__(self,model,propagation):
        super(PPNP,self).__init__()
        self.model = model
        self.propagation = propagation
    def forward(self,feature,adj):
        #Generate Prediction
        #用于生成预测
        if self.model.__class__.__name__ =='MLP':
            output = self.model(feature)
        else:
            output = self.model(feature,adj)
        #通过个性化PageRank传播
        if self.propagation is not None:
            output = self.propagation(output)
        #返回最后一层的结果
        return F.log_softmax(output,dim=1)

3.2、PPNP

class PPNPExtract(Module):
    def __init__(self,alpha,adj,dropout):
        super(PPNPExtract,self).__init__()
        self.alpha = alpha
        self.adj = adj
        self.dropout = dropout
        pass
    def forward(self,H):
        inv = self.PPR()
        inv = F.dropout(inv,self.dropout,training=self.training)
        return self.alpha * torch.mm(inv,H) 
    def PPR(self):
        if isinstance(self.adj,torch.Tensor):
            ADJ = self.adj.to_dense().numpy()
        I_n = np.eye(self.adj.shape[0])
        M = I_n-(1-self.alpha)*ADJ
        inv_M = np.linalg.inv(M)
        return torch.Tensor(inv_M)

3.3、APPNP

class PowerIteration(Module):
    def __init__(self,adj,alpha,k,dropout):
        super(PowerIteration,self).__init__()
     
        self.adj = adj
        self.alpha = alpha
        self.k = k
        self.dropout = dropout
    def forward(self,H):
        Z = H
        for _ in range(self.k):
            Z = F.dropout(Z,self.dropout,training=self.training)
            Z = (1-self.alpha)*torch.mm(self.adj,Z) + self.alpha * H
        return Z

3.4、MLP(两层)

class MLP(Module):
    def __init__(self,input_dim,hid_dim,output_dim,dropout):
        super(MLP,self).__init__()
        self.input_dim = input_dim
        self.hid_dim = hid_dim
        self.output_dim = output_dim
        self.dropout = dropout
        self.layer1 = nn.Linear(input_dim,hid_dim,bias=False)
        self.layer2 = nn.Linear(hid_dim,output_dim,bias=False)

    def forward(self,X):
        X = F.dropout(X,self.dropout,training=self.training)
        X = self.layer1(X)
        X = F.relu(X)
        X = F.dropout(X,self.dropout,training=self.training)
        X = self.layer2(X)
        return X
    def __repr__(self) -> str:
        return self.__class__.__name__