线性代数之 矩阵乘法的本质

前言

本文将介绍矩阵乘法及其本质。

教材里的矩阵乘法

矩阵$A\in R^{m\times n},B\in R^{n\times l}$，则定义矩阵乘法$AB$为：

$$\begin{gathered} AB=C\in R^{m\times l} \\ {C}_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj} \end{gathered}$$
以上定义看着就很复杂，理解起来就是左边矩阵的第 i 行的元素乘以右边矩阵第 j 列的对应元素，也就是所谓的“十字”乘法。

这样的定义，满足做题的需求，但对于理解矩阵乘法的本质，没有任何作用。

矩阵与向量的乘法

考虑矩阵与列向量的乘法：
$$\begin{gathered} Ax=b \\ 将A看作列向量的横向排列： \\ A=(a_1,a_2,\dots ,a_n) \\ (a_1,a_2,\dots ,a_n)x=x_1{a}_1+x_2{a}_2+\cdots +x_n{a}_n \\ 实际上，x_1{a}_1+x_2{a}_2+\cdots +x_n{a}_n就是矩阵A的列向量的线性组合 \end{gathered}$$
由以上过程，我们就可以把矩阵与列向量的乘积$Ax=b$，定义为矩阵的列的线性组合，线性组合的系数就是列向量的每个元素。并且结果是矩阵列的线性组合，那么列向量维数的肯定不变。

同理，行向量与矩阵 $x^{T}A=b^T$的乘积，就是矩阵行的线性组合。

矩阵之间的乘法

现在来考虑矩阵的乘法：
$$\begin{gathered} AX=B \\ 将X都看作列向量的横向排列 \\ X=(x_1,x_2,\dots ,x_n) \\ AX=A(x_1,x_2,\dots ,x_n)=(A{x}_1,A{x}_2,\dots ,A{x}_n) \\ 于是，矩阵乘积就变成了矩阵与列向量乘积的横向排列 \end{gathered}$$
因此，我们就可以把矩阵乘法$AX=B$，定义为矩阵列的不同线性组合的横向排列。既然结果是列的线性组合的横向排列，那么结果的排列个数肯定与$X$的横向排列个数相同。

扩展1：方阵与向量的乘法与线性相关性

对于矩阵和列向量的乘法：
$$\begin{gathered} 对于线性齐次方程组，有 \\ Ax=0\in R^n \end{gathered}$$
我们知道零向量是矩阵列的线性组合，那么如果矩阵的列向量是线性相关的，就存在非零向量$x$使方程有解 ，如果矩阵的列是线性无关的，方程的解就只有零向量。

扩展2：方阵间的乘法与秩

对于方阵之间的乘法：
$$AB=E\in R^{n\times n}$$
我们知道单位矩阵$E$是$A$的列的线性组合的排列，也就是说$A$的列组合可以表示$E$的每个列，那么必然有$n\ge r(A)\ge r(E)=n$，则$r(A)=n$。

延伸到向量空间，就能够得到更加本质的结论。

后记

本篇实际上是把矩阵乘法归纳为向量的线性组合。下篇将记录向量空间。