1 线性代数引论

1.线性代数引论

1.1 Jordan标准形

• Jordan块
  主对角元素为某一特征值，副对角元素为1，如：
  1阶J块：( λ )
  2阶J块： (λ1λ)
  3阶J块： ⎛⎝⎜⎜λ1λ1λ⎞⎠⎟⎟
  4阶J块： ⎛⎝⎜⎜⎜⎜λ1λ1λ1λ⎞⎠⎟⎟⎟⎟
  ……
  n阶J块： ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜λ1λ1⋱⋱⋱1λ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟

• Jordan标准形
  由Jordan块组成的对角阵，如
  

  ⎛⎝⎜⎜⎜⎜J1J2⋱Jn⎞⎠⎟⎟⎟⎟

• 求矩阵A的Jordan标准形

  1. 先求A的特征多项式，解出特征值
  2. 特征值单重根为1阶J块，2重根为1个2阶J块或2个1阶J块，即副对角线元素为1或0，先设为*（3重以上的差不多，可能是3个1阶J块，或1个3阶J块，或1个1阶J块+1个2阶J块）
  3. 对多重根算n-r(A- Iλ)=k，（r(A- Iλ)= r(Iλ-A)，实际上跟证相似对角化是一样的套路）k是多少那么那个特征值就对应几个J块，如k=1，则这个2重特征值对应1个2阶J块，*=1,。如k=2，则对应2个1阶J块，*=0。

• 注意

  • 矩阵A有多少个正交的特征向量，就有多少个Jordan块
  • A有n个相异的特征值，就有n个1阶J块
  • 不考虑J块次序，复矩阵A的Jordan形由A唯一确定

• 定理
  任意n阶矩阵A都可相似于Jordan标准形

1.2 λ矩阵理论

λ矩阵——A(λ)表示矩阵元素含λ

• 最小多项式
  首1的，次数最低的，A的零化式，为A的最小多项式 mA(λ) 。能让f(A)=0的就是A的零化式

• 求最小式
  先求特征多项式 f(λ)=|λI−A| ，设 g(λ)=(λ−a)i(λ−b)j… 从次数最低的开始尝试如 g1(λ)=(λ−a)(λ−b)… ，算一算是否有 g1(A)=0 ，不断提高次数直到遇到 gX(A)=0 ，它就是最小式

• A的最小式无重根 等价于

  1. A可对角化
  2. λI-A的不变因子无重根
  3. λI-A的初等因子均一次

• 求初等因子
  
  方法2中第2步所谓的分解因式是把不同类型的因式拆开， (λ−1)2(λ+1)3 ，同类型带次数的不要把次数拆开
  方法3 常用，一般不考r>3的清醒
  初等因子可能有重复的，如北航矩阵论教材27页例5

• 求不变因子
  A为几阶方阵就有几个不变因子，从第n个往前求。从初等因子组中取出同类型因子次数最高的项（如：λ-1, (λ-1)2, λ+2 ,( λ+2)3，带λ-1的是一个类型的，取出最高次(λ-1)2 ，带λ+1的是一个类型的，取出最高次(λ+1)3，组成(λ-1)2(λ+1)3）作为第n个不变因子dn(λ)，重复上述步奏直到初等因子全部用完，不变因子不足n个，用1补齐，如…=d2(λ)= d1(λ) = 1

• 求Smith标准形
  不变因子顺序排下来，写在主对角线上，就是smith标准形
  也可以直接由A(λ)经初等行变换化得，要保证第i项能被第i+1项整除，非常麻烦

1.3 Hermite转置

• 共轭转置: AH ,对A取转置后再取共轭
• 厄米特阵: AH=A ，若 xHAx> 0 则称A厄米特正定
• 酉矩阵: UHU=I 类似正交阵( QTQ=I )，但U是复数阵
• 共轭转置Hermite转置的计算
  
  1. (AB)H=BHAH ，其中A为m行n列的矩阵，B为n行p列矩阵。
  2. (AH)H=A
  3. (A+B)H=AH+BH 。
  4. (rA)H=r⎯⎯AH ，其中r为复数， r⎯⎯ 为r的共轭
  5. 若A为方阵，则 |AH|=|A|H ，且 tr(AH)=(trA)H
  6. A是可逆矩阵， 当且仅当 AH 可逆，且有 (AH)−1=(A−1)H
  7. AH 的特征值是A的特征值的复共轭。
  8. (Ax,y)=(x,AHy) ，其中A为m行n列的矩阵，复向量x为n维列向量，复向量y为m维列向量，( , )为复数的内积。
  9. 分块矩阵的运算与转置相同，先交换行列，在求每个分块的共轭转置

1.4 酉空间

其实就是把欧式空间里的实数变成复数, 欧式空间是有限维的实内积空间，酉空间是有限维的复内积空间

• 实对称阵，正交阵，厄米特阵与酉矩阵

.	实数域	复数域
对称	实对称阵( AT=A )	厄米特阵( AH=A )
正交	正交阵( ATA=I )	酉矩阵( AHA=I )

1. A是实对称阵（ AT=A ）等价于 存在正交阵Q使得 A相似于 对角阵，即 QTAQ=diag(λi…) ，且 λi 为实数
2. A是正交矩阵（ AT=A−1 ） 等价于 存在酉矩阵U使得 A酉相似于 对角阵，即 UHAU=diag(λi…) , 且 |λi|=1
3. A是厄米特阵（ AH=A ） 等价于 A酉相似于 对角阵，且特征值为实数

4. A是酉矩阵（ AH=A−1 ） 等价于 A酉相似于 对角阵，且特征值模为1

   • 相似, 正交相似与酉相似：
5. ∃ 可逆阵P, 使得 P−1AP=B , 即A 相似于B
6. ∃ 正交阵Q, 使得 QTAQ=B , 即A 正交相似于B

7. ∃ 酉矩阵U, 使得 UHAU=B , 即A 酉相似于B

   • 许尔引理（Schur）： ∀An×n∈C , A都可 酉相似于 一个上三角阵，其主对角元为A的特征值

   • 正规矩阵（规范阵）： ∀An×n∈C ，有 AHA=AAH

   • 实对称阵（ AT=A ） 反实对称阵（ AT=−A ） 正交阵（ AT=A−1 ）
   • 厄米特阵（ AH=A ） 反厄米特阵（ AH=−A ） 酉矩阵（ AH=A−1 ）
     均是正规矩阵

1.5 补充：正定矩阵

• 描述
  设方阵 Mn×n ，若对任何非零向量z，都有 zTMz>0 ，则称M为正定矩阵。

• 判定
  正定矩阵在合同变换下可化为标准型， 即对角矩阵。
  所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
  判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是 A的特征值全为正。
  判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是 A的各阶顺序主子式都为正。
  判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是 A合同于单位阵。

• 性质：

  1. 正定矩阵一定是非奇异的。（奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A为奇异阵，则其的行列式为零，即 |A|=0）
  2. 正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
  3. 若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。