1 线性代数引论

1.线性代数引论

1.1 Jordan标准形

  • Jordan块
    主对角元素为某一特征值,副对角元素为1,如:
    1阶J块:( λ )
    2阶J块: (λ1λ)
    3阶J块: λ1λ1λ
    4阶J块: λ1λ1λ1λ
    ……
    n阶J块: λ1λ11λ

  • Jordan标准形
    由Jordan块组成的对角阵,如

    J1J2Jn

  • 求矩阵A的Jordan标准形

    1. 先求A的特征多项式,解出特征值
    2. 特征值单重根为1阶J块,2重根为1个2阶J块或2个1阶J块,即副对角线元素为1或0,先设为*(3重以上的差不多,可能是3个1阶J块,或1个3阶J块,或1个1阶J块+1个2阶J块)
    3. 对多重根算n-r(A- Iλ)=k,(r(A- Iλ)= r(Iλ-A),实际上跟证相似对角化是一样的套路)k是多少那么那个特征值就对应几个J块,如k=1,则这个2重特征值对应1个2阶J块,*=1,。如k=2,则对应2个1阶J块,*=0。
  • 注意

    • 矩阵A有多少个正交的特征向量,就有多少个Jordan块
    • A有n个相异的特征值,就有n个1阶J块
    • 不考虑J块次序,复矩阵A的Jordan形由A唯一确定
  • 定理
    任意n阶矩阵A都可相似于Jordan标准形

1.2 λ矩阵理论

λ矩阵——A(λ)表示矩阵元素含λ

  • 最小多项式
    首1的,次数最低的,A的零化式,为A的最小多项式 mA(λ) 。能让f(A)=0的就是A的零化式

  • 求最小式
    先求特征多项式 f(λ)=|λIA| ,设 g(λ)=(λa)i(λb)j 从次数最低的开始尝试如 g1(λ)=(λa)(λb) ,算一算是否有 g1(A)=0 ,不断提高次数直到遇到 gX(A)=0 ,它就是最小式

  • A的最小式无重根 等价于

    1. A可对角化
    2. λI-A的不变因子无重根
    3. λI-A的初等因子均一次
  • 求初等因子
    1 线性代数引论_第1张图片
    方法2中第2步所谓的分解因式是把不同类型的因式拆开, (λ1)2(λ+1)3 ,同类型带次数的不要把次数拆开
    方法3 常用,一般不考r>3的清醒
    初等因子可能有重复的,如北航矩阵论教材27页例5

  • 求不变因子
    A为几阶方阵就有几个不变因子,从第n个往前求。从初等因子组中取出同类型因子次数最高的项(如:λ-1, (λ-1)2, λ+2 ,( λ+2)3,带λ-1的是一个类型的,取出最高次(λ-1)2 ,带λ+1的是一个类型的,取出最高次(λ+1)3,组成(λ-1)2(λ+1)3)作为第n个不变因子dn(λ),重复上述步奏直到初等因子全部用完,不变因子不足n个,用1补齐,如…=d2(λ)= d1(λ) = 1

  • 求Smith标准形
    不变因子顺序排下来,写在主对角线上,就是smith标准形
    也可以直接由A(λ)经初等行变换化得,要保证第i项能被第i+1项整除,非常麻烦

1.3 Hermite转置

  • 共轭转置: AH ,对A取转置后再取共轭
  • 厄米特阵: AH=A ,若 xHAx> 0 则称A厄米特正定
  • 酉矩阵: UHU=I 类似正交阵( QTQ=I ),但U是复数阵
  • 共轭转置Hermite转置的计算
    1. (AB)H=BHAH ,其中A为m行n列的矩阵,B为n行p列矩阵。
    2. (AH)H=A
    3. (A+B)H=AH+BH
    4. (rA)H=rAH ,其中r为复数, r 为r的共轭
    5. 若A为方阵,则 |AH|=|A|H ,且 tr(AH)=(trA)H
    6. A是可逆矩阵, 当且仅当 AH 可逆,且有 (AH)1=(A1)H
    7. AH 的特征值是A的特征值的复共轭。
    8. (Ax,y)=(x,AHy) ,其中A为m行n列的矩阵,复向量x为n维列向量,复向量y为m维列向量,( , )为复数的内积。
    9. 分块矩阵的运算与转置相同,先交换行列,在求每个分块的共轭转置

1.4 酉空间

其实就是把欧式空间里的实数变成复数, 欧式空间是有限维的实内积空间,酉空间是有限维的复内积空间

  • 实对称阵,正交阵,厄米特阵与酉矩阵
. 实数域 复数域
对称 实对称阵( AT=A ) 厄米特阵( AH=A )
正交 正交阵( ATA=I ) 酉矩阵( AHA=I )
  1. A是实对称阵( AT=A )等价于 存在正交阵Q使得 A相似于 对角阵,即 QTAQ=diag(λi) ,且 λi 为实数
  2. A是正交矩阵( AT=A1 ) 等价于 存在酉矩阵U使得 A酉相似于 对角阵,即 UHAU=diag(λi) , 且 |λi|=1
  3. A是厄米特阵( AH=A ) 等价于 A酉相似于 对角阵,且特征值为实数
  4. A是酉矩阵( AH=A1 ) 等价于 A酉相似于 对角阵,且特征值模为1

    • 相似, 正交相似与酉相似:
  5. 可逆阵P, 使得 P1AP=B , 即A 相似于B
  6. 正交阵Q, 使得 QTAQ=B , 即A 正交相似于B
  7. 酉矩阵U, 使得 UHAU=B , 即A 酉相似于B

    • 许尔引理(Schur): An×nC , A都可 酉相似于 一个上三角阵,其主对角元为A的特征值

    • 正规矩阵(规范阵): An×nC ,有 AHA=AAH

    • 实对称阵( AT=A ) 反实对称阵( AT=A ) 正交阵( AT=A1
    • 厄米特阵( AH=A ) 反厄米特阵( AH=A ) 酉矩阵( AH=A1
      均是正规矩阵

1.5 补充:正定矩阵

  • 描述
    设方阵 Mn×n ,若对任何非零向量z,都有 zTMz>0 ,则称M为正定矩阵。

  • 判定
    正定矩阵在合同变换下可化为标准型, 即对角矩阵。
    所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米矩阵)也是正定矩阵。
    判定定理1:对称阵A为正定的充分必要条件是 A的特征值全为正。
    判定定理2:对称阵A为正定的充分必要条件是 A的各阶顺序主子式都为正。
    判定定理3:任意阵A为正定的充分必要条件是 A合同于单位阵。

  • 性质:

    1. 正定矩阵一定是非奇异的。(奇异矩阵的定义:若n阶矩阵A为奇异阵,则其的行列式为零,即 |A|=0)
    2. 正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
    3. 若A为n阶正定矩阵,则A为n阶可逆矩阵。

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