2023NOIP A层联测9 (ACCODER 410)
2023NOIP A层联测9 (ACCODER 410)
2023年10月12日 / 比赛 / 信息学
代码与题面
A. 长春花
长春花有愉快的回忆的寓意。
题面及代码见文首下载包。
首先， O ( p 2 ) O(p^2) O(p2)的暴力不难想到，直接枚举 a a a， b b b即可。
接着，你尝试 p = 99991 p=99991 p=99991（ 1 0 5 10^5 105以内最大的质数），你发现答案是 20 20 20，并不大。虽然这并没有单调性，但是你可以大胆猜测所有 p p p的答案都不会很大。如果你比较严谨，你可以打一下表，只需要几分钟时间，你会发现最大的答案为 31 31 31。那么我们枚举 a a a的时候只需要枚举到 31 31 31即可，时间复杂度近似于 O ( p ) O(p) O(p)。
B. 紫罗兰
紫罗兰的花语寓意为永久的爱。
注意到是无向无权图，每次断开一条边，然后从一个端点到另一个做BFS，找到最短路径并统计方案数。判断是否为最小环，如果是统计答案。
实现上，对于松弛操作，如果成功松弛，那么重新赋值方案数；如果花费相同，那么加上方案数即可。
更多的，我们每个环可能被扫描多次，所以最后要去重。当然如果我们在输入的过程中，在加入每一条边前都做一次BFS，那么我们就不会重复统计。（我就是这个做法）
C. 天竺葵
天竺葵花语是幸福在身边。
先看 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)暴力，设 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]表示考虑到第 i i i位选出了 j j j位，结尾数的最小值。
转移为： f [ i ] [ j ] = m i n ( f [ i − 1 ] [ j ] , a [ i ] ( f [ i − 1 ] [ j − 1 ] ∗ b [ j − 1 ] < a [ i ] ) ) f[i][j]=min(f[i-1][j],a[i]\ (f[i-1][j-1]*b[j-1]
想必大家都做过导弹拦截（洛谷），很容易发现 f [ i ] f[i] f[i]单调递增。
利用这个性质，我们在转移 f [ i ] f[i] f[i]的过程中，我们通过二分查找找到最大的 k k k使得 f [ i − 1 ] [ k ] < a [ i ] f[i-1][k]
- 对于 j ≤ k j \leq k j≤k有 f [ i − 1 ] [ j ] < a [ i ] f[i-1][j]
- 对于 j > k + 1 j > k+1 j>k+1有 f [ i − 1 ] [ j − 1 ] ∗ b [ j − 1 ] > a [ i ] f[i-1][j-1]*b[j-1]>a[i] f[i−1][j−1]∗b[j−1]>a[i]（因为 b [ j − 1 ] ≥ 1 b[j-1] \geq 1 b[j−1]≥1），那么 f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j ] f[i][j]=f[i-1][j] f[i][j]=f[i−1][j]。
如果我们去掉第一维，那么只有， j = k + 1 j=k+1 j=k+1时需要转移。时间复杂度降低至 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn)
D. 风信子
白色风信子代表纯真的爱情。
对于询问，我们注意到 ∑ k \sum k ∑k不大，我们考虑将所有的可能以某种形式保存，放入优先队列中，我们最多只需要取 ∑ k \sum k ∑k次，时间复杂度为 O ( ∑ k log ∑ k ) O(\sum k \log \sum k) O(∑klog∑k)。
关键是如何保存，如何取值？对于一个最初的询问 [ L , R ] [L,R] [L,R]，其限制 L ≤ l ≤ r ≤ R L \leq l \leq r \leq R L≤l≤r≤R这等价于 L ≤ l ≤ R , L ≤ r ≤ R , l ≤ r L \leq l \leq R,L \leq r \leq R,l \leq r L≤l≤R,L≤r≤R,l≤r,我们考虑用线段树维护最大的 a [ l ] − a [ r ] a[l]-a[r] a[l]−a[r]，这要求我们取区间最大值，最小值，答案（以及位置），懒标记（有区间修改的操作）等。
Node operator +(const Node x,const Node y)
{
Node z;
z.l=x.l;
z.r=y.r;
z.z=0;
if(x.x>y.x) z.x=x.x,z.a=x.a;
else z.x=y.x,z.a=y.a;
if(x.y<y.y) z.y=x.y,z.b=x.b;
else z.y=y.y,z.b=y.b;
z.v=x.x-y.y;
z.p=x.a;
z.q=y.b;
if(x.v>z.v) z.v=x.v,z.p=x.p,z.q=x.q;
if(y.v>z.v) z.v=y.v,z.p=y.p,z.q=y.q;
return z;
}
这是合并操作（重载为加法，结构体为线段树结构体）。变量含义如下：
| 变量 | 含义 |
|---|---|
| l | 左端点 |
| r | 右端点 |
| x | 最大值 |
| y | 最小值 |
| a | 最大值下标 |
| b | 最小值下标 |
| v | 答案（即 a [ l ] − a [ r ] a[l]-a[r] a[l]−a[r]的最大值） |
| p | 答案中最大值下标 |
| q | 答案中最小值下标 |
其余的就是常规的区修区查线段树了（详细请见文首链接代码中的结构体Sgt），时间复杂度为 O ( n log n ) O(n \log n) O(nlogn)。
解决线段树后，我们开始考虑查询区间问题。为了方便表示，我们将要求为 L 0 ≤ l ≤ R 0 , L 1 ≤ r ≤ R 1 , l ≤ r L_0 \leq l \leq R_0,L_1 \leq r \leq R_1,l \leq r L0≤l≤R0,L1≤r≤R1,l≤r的区间表示为 ( L 0 , R 0 , L 1 , R 1 ) (L_0,R_0,L_1,R_1) (L0,R0,L1,R1)
因为取过的 l l l, r r r不能再取，所以我们需要分裂区间。但是我们需要分裂成什么样的区间，这就取决于什么样的区间好查询了。
如果区间为 ( L 0 , R 0 , L 1 , R 1 ) (L_0,R_0,L_1,R_1) (L0,R0,L1,R1)，那么以下两种区间是好查询的。
- 第一类区间 L 0 = L 1 , R 0 = R 1 L_0 = L_1,R_0 = R_1 L0=L1,R0=R1，上文的线段树的 v v v就是这个值（其实就和初始询问一致）
- 第二类区间 R 0 < L 1 R_0 < L_1 R0<L1即相离，我们只要取上文线段树中的最大值减去最小值即可。
代码中的Add函数就是查询值的操作。
对于分裂操作，我们设最优解为 p p p， q q q（最小值与最大值下标）。
对于第一类区间我们将其分裂成（因为 L 0 = L 1 L_0=L_1 L0=L1统一简写成 L L L， R R R同理。）：
- ( L , p − 1 , L , L , p − 1 ) ( p > L ) (L,p-1,L,L,p-1) \ (p>L) (L,p−1,L,L,p−1) (p>L)
- ( L , p − 1 , p , R ) ( p > L ) (L,p-1,p,R) \ (p>L) (L,p−1,p,R) (p>L)
- ( p , p , p , p ) ( p ≠ q ) (p,p,p,p) \ (p \neq q) (p,p,p,p) (p=q)
- ( p , p , p + 1 , q − 1 ) ( p < q − 1 ) (p,p,p+1,q-1) \ (p
- ( p , p , q + 1 , R ) ( q < R ) (p,p,q+1,R) \ (q
- ( p + 1 , R , p + 1 , R ) ( p < R ) (p+1,R,p+1,R) \ (p
对于第二类区间我们将其分裂成：
- ( L 0 , p − 1 , L 1 , R 1 ) ( p > L 0 ) (L_0,p-1,L_1,R_1) \ (p>L_0) (L0,p−1,L1,R1) (p>L0)
- ( p , p , L 1 , q − 1 ) ( L 1 < q ) (p,p,L_1,q-1) \ (L_1
- ( p , p , q + 1 , R 1 ) ( q < R 1 ) (p,p,q+1,R_1) \ (q
- ( p + 1 , R 0 , L 1 , R 1 ) ( p < R 0 ) (p+1,R_0,L_1,R_1) \ (p
（为了防止笔误带来的影响，可以结合代码）
最后记得重载区间比较函数。