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求隐函数二阶导数

2.4 高阶导数 一、显函数高阶导数 二、隐函数的二阶导数 三、参数方程确定的函数的二阶导数 四、二阶导数的力学意义 五、 内容小结 作业 * 主要内容: 1.显函数高阶导数. 2.隐函数的二阶导数. 3.参数方程确定的函数的二阶导数. 4.二阶导数的力学意义. 如果函数 y=f(x) 的导数 仍然是x的 可导函数. 则把 的导数叫做函数 y=f(x) 即 类似地，二阶导数 的导数叫做函数 y=f(x)的三阶导数，记作 即 的二阶导数，记作 一般地,函数y=f(x)的(n-1)阶导数的导数叫做 y=f(x) 的 n 阶导数. 记作 即 把函数 y=f(x) 的导数 叫做函数y=f(x)的一阶导数. 把二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数． 例１ 解 已知 解 例２ 求函数的n导数时，逐次求出一阶，二阶，三阶导数， 从中发现，总结规律，求出n阶导数的一般表达式． 求函数 的n阶导数. 解 特殊地， 的 n 阶导数. 一般地，可得 例３ 求正弦函数的n阶导数. 解 一般地，可得 用类似方法，可得 例４　 求函数 的n阶导数. 解 一般地，可得 即 例５ 举例说明求隐函数的二阶导数的方法． 对方程两边关于x求导,得 两边再求导，得 将 代入上式得 说明： 求隐函数的二阶导数，要先求出隐函数的一阶导数， 在一阶导数表达式的两边再对x求导数， 例6 解 把求出的一阶表达式代入二阶导数的表达式． 由参数方程 确定的函数 的导数公式为 参数方程确定的函数的二阶导数为： 设 解 例８ 求参数方程 确定的函数的二阶导数． 解 代入公式得 例７ 计算由摆线的参数方程 确定的 的二阶导数． 函数 解 例９ 设物体作变速直线运动，运动方程为 那么它的瞬时度为 若速度v仍是时间 t 的函数，我们可以求速度v对时间t的变化率： ，在力学中把它叫做物体在给定的 时刻加速度，记作 也就是说，物体加速度 是路程 对时间t的二阶导数 , 即 这就是二阶导数的力学意义． 设某质点作直线运动,其运动方程为 求该质点在 t=3 时的加速度. 解 故 已知物体的运动方程为 是常数， 求物体运动的加速度． 解 例10 例11 一 显函数高阶导数 逐次求导，从中发现，总结规律 二　隐函数的二阶导数 求隐函数的二阶导数，先求出一阶导数， 在一阶导数表达式的两边再对 x 求导数， 隐函数的导数的表达式中只能有 x, y 而不能保留 三　参数方程确定的函数的二阶导数 *