半参数模型

非参数回归模型

对回归函数f()的具体形式不做任何假定或是只做一些简单的光滑性要求，依靠观测数据寻求f()的特征

非参数光滑方法

权函数估计

基于局部加权的思想，利用周围的点拟合某点处回归函数的值。
假设要估计$x_0$对应的$m(x_0)$，$\left\{y_i,x_i\right\}$对应的权函数为$W_{ni}(x_0)$，则加权估计为：
$$\hat{m}(x_0)=\sum _{i=1}^n{W}_{ni}(x_0)Y_i$$
常用的包括核估计方法、局部多项式估计方法

最小二乘法

利用参数空间逼近无穷维参数空间，基于不同的逼近思想构造参数空间的基函数，将未知函数（无穷维参数）的估计问题转为（有限个）未知参数的估计问题，从而利用最小二乘法得到估计。

样条方法

• 多项式回归的一种推广。利用分段不同阶数的多项式拟合数据，使得两个多项式函数在knots处可以允许不连续的导数，这样使得估计的回归函数更具有灵活性。
• 设$t_1,t_2,...,t_J$为固定节点，这些节点将实直线划分为多个区间。以三次样条为例，有连续二阶导，并且在每个区间内都是三次多项式。所有的三次样条函数形成一个J+4维的线性空间。
• 常见三次样条基：

1. 幂基：$1,x,x^2,x^3,(x-t_j{)}_{+}^3(j=1,2,...,J)$
2. B-spline

• 设选定的三次样条基为$B_1,...,B_{J+4}$，则三次样条函数为：
  $$s(x)=\sum _{j=1}^{J+4}{\theta }_j{B}_j$$
  上面的未知参数${\theta }_j$可以通过极小化
  $$\sum _{i=1}^n{\left\{Y_i-\sum _{j=1}^{J+4}{\theta }_j{B}_j(x_i)\right\}}^2$$
  得到。
• J被称为光滑参数，基由节点唯一确定。随着节点数目减少，B样条估计的方差越小，偏差越大。节点个数在拟合数据和光滑程度之间起到平衡作用

光滑样条估计

是一种惩罚最小二乘方法。与上述样条方法的不同在于，它是自动选取节点。表现在公式上就是，在原来的基础上加上一些惩罚项，避免自动选取节点时将所有的点都考虑在内造成过拟合。
如最小二乘估计：
$$\sum _{i=1}^n{\left\{Y_i-m(x_i)\right\}}^2+\lambda \int (m^{\prime \prime }(x){)}^{2}dx$$
后面一项就是惩罚项，要求m具有二阶连续导数

半参数模型

五类重要的半参数模型：

1. 若影响L的因素可以分为两个部分，即$b_1,...b_p和t_1,...,t_q，(p+q=n)$。根据经验可知$b_i$是主要因素，且L与$b_i$的关系为线性，$t_j$则是某种干扰因素，两者关系未知，且没有理由将其放入误差项，从而有：
   $$L_i=b_i^{T}x+g(t_i)+{\sigma }_i{\Delta }_i$$
   其中${\Delta }_i$为i.i.d随机误差，且$E({\Delta }_i)=0,E({\Delta }_i^2)=1$
2. 若影响L的因素b可分为两部分：线性与非线性，且无法将任何一部分归入误差项，从而：
   $$L_i=b_i^{T}x+g(b_i)+{\sigma }_i{\Delta }_i$$
3. 影响L的因素除了线性部分和偶然误差外，其余部分很复杂，无法用少数参数表示，从而：
   $$L=Bx+S+\Delta$$
   其中$S=(s_1,...s_n{)}^T$是描述模型误差或系统误差的n维未知向量，B是列满秩设计矩阵，$\Delta$是偶然误差
4. 影响L的因素可以表示成线性部分和非参数部分的未知函数：
   $$L_i=f(b_i^{T}x+g(t_i))+{\Delta }_i$$
   上述模型是广义半参数模型
5. 存在删失数据的情况下：
   $$L_i=b_i^{T}x+g(T_i)+e_i$$
   其中$g()$为[0,1]上未知的Borel函数，$\left\{b_i^T,T_i\right\}$为$R^d\times [0,1]$上的随即设计或常数序列，随机误差序列$\left\{e_i\right\}$满足$E{e}_i=0,E{e}_i^2={\sigma }_i^2<\infty$。

半参数模型的估计方法

• 参数化估计
  对函数空间施加限制（光滑性），利用合理的逼近形式，（如：$g(t)={\sum }_i{\lambda }_i{e}_i$，其中$e_i$是一组基）参数化非参部分，将估计$g(t)$问题转化为估计有限维参数，从而可以使用线性模型的方法同时估计x和$\lambda$
• 两步估计
  将参数方法与非参数方法综合，参数部分使用最小二乘法，非参数部分可以使用样条估计，核估计，近邻估计等等。。。
• 二阶段估计
  将半参数模型变成标准的线性模型，利用最小二乘估计法得到参数分量的第一次估计，并由新模型的残差得出非参数分量的估计，再将非参数分量的估计代回元模型，再次利用最小二乘法得到参数分量的估计
• 稳健估计-M估计
  最小二乘法缺乏稳健性，因此考虑使用半参数M估计作为替代，上述思想仍然可以使用
• 补偿最小二乘法
  既考虑了估计量数据的拟合，还顾及了非参数分量估计的光滑性，是最广泛使用的方法

惩罚最小二乘法

针对第三类模型：

• 对正规化后的残差求期望，由于有偏，所以对目标函数（正规化的残差）进行修正，再添加一些光滑性限制条件
• 针对目标函数利用拉格朗日乘数法求解，从而得到X和S的估计
• 最后如果需要对非参部分参数化，可以利用一些非参的方法对S的值建立回归模型

二阶段法

针对第一类模型：

• 假设x已知，利用最小二乘估计得到x得到第一阶段估计$\hat{x}$
• 由新模型的残差，利用近邻核权函数得到非参分量的第一阶段估计$\hat{g}$
• 为了改进x的估计，再第一阶段的基础上，将$\hat{g}$带入原模型，再对模型利用最小二乘法，求得$\hat{x}$，称为第二阶段估计
• 再将$\hat{x}$带入$\hat{g}$的非参估计式，得到$\hat{g}$的第二阶段估计

$\hat{x}$和$\hat{g}$具有渐近正态性、相合性等良好性质