换根dp学习笔记

最近模拟赛经常做到，于是我就学习了一下。

算法原理

换根$dp$的题一般都会给出一个无根树，因为以不同的点为根时，问题的答案不一样，所以它会让你输出答案的最大或最小值。

暴力去做这种题，就是以每个点为根然后跑一遍$dfs$算出答案即可。

时间复杂度为$\mathcal{O}(N^2)$。

但是这样过不了，所以我们需要以更快的时间去解决问题。

我们先定义两个数组$f{1}_i$表示点$i$子树内的贡献，$f{2}_i$表示子树外的贡献。

以下图为例，我们以点$2$为根。

我们需要将根从点$2$转移到点$5$，这个时候我们可以将这棵树拆分成两部分，一个是$2$以上的点，一个是$5$的兄弟节点，根转化过后，$5$的兄弟节点变为它的孙子节点。

我们计算点$5$的答案就用$f{2}_2+f{1}_2-f{1}_5$。

形式化的来讲，就是对于点$u,v$，$v$是$u$的儿子。

$v$的答案就等于$u$上方的贡献加上$v$兄弟节点的贡献。

具体题目计算贡献的方法不同但原理是一样的。

算法例题

版题1

版题2

比版题要难上一些1

比版题要难上一些2

计算贡献的地方比较巧妙

例题会不断更新，并且这些题我后面都会写出题解挂在这篇博客里面。