C语言函数递归的深入讲解

一、递归是什么？

递归是学习C语⾔函数绕不开的⼀个话题，那什么是递归呢？
递归其实是⼀种解决问题的⽅法，在C语⾔中，递归就是函数⾃⼰调⽤⾃⼰。
写⼀个史上最简单的C语⾔递归代码：

#include 
int main()
{
 printf("hehe\n");
 main();//main函数中⼜调⽤了main函数
 return 0;
}

上述就是⼀个简单的递归程序，只不过上⾯的递归只是为了演⽰递归的基本形式，
不是为了解决问题，代码最终也会陷⼊死递归，导致栈溢出。

递归的思想：
把一个大型复杂问题层层转化为一个与原问题相似，但规模较小的子问题来求解；直到子问题不能再被拆分，递归就结束了。所以递归的思考方式就是把大事化小的过程。递归中的递就是递推的意思，归就是回归的意思，接下来慢慢来体会。

二. 递归的限制条件

递归在书写的时候，有```2```个必要条件：
	• 递归存在限制条件，当满足这个限制条件的时候，递归便不再继续。
	• 每次递归调⽤之后越来越接近这个限制条件。
在下⾯的例⼦中，我们逐步体会这2个限制条件。

三. 递归举例

3.1 举例1：求n的阶乘

计算n的阶乘（不考虑溢出），n的阶乘就是1~n的数字累积相乘。

3.1.1 分析和代码实现

我们知道n的阶乘的公式：n！ = n ∗ (n − 1)!

举例：
 		5! = 5*4*3*2*1
 	   	4! = 4*3*2*1
    所以:5! = 5*4!

这样的思路就是把一个较大的问题，转换为一个与原问题相似，但规模较小的问题来求解的。

n!---> n*(n-1)!
(n-1)! ---> (n-1)*(n-2)!
....
直到n是1或者0时，不再拆解

再稍微分析一下，当 n<=1的时候，n的阶乘是1，其余n的阶乘都是可以通过上述公式计算。
n的阶乘的递归公式如下：

那我们就可以写出函数Fact求n的阶乘，假设Fact(n)就是求n的阶乘，那么Fact(n-1)就是求n-1的阶乘，函数如下：

int Fact(int n)
{
 if(n<=0)
 	return 1;
 else
 	return n*Fact(n-1);
}

测试：

#include 
int Fact(int n)
{
 if(n<=0)
	 return 1;
 else
	 return n*Fact(n-1);
}
int main()
{
 int n = 0;
 scanf("%d", &n);
 int ret = Fact(n);
 printf("%d\n", ret);
 return 0;
}

运行结果（这里不考虑n太大的情况，n太大存在溢出）：

3.2 举例2：顺序打印一个整数的每一位

输入一个整数m，打印这个按照顺序打印整数的每一位。
比如：

输⼊：1234 输出：1 2 3 4
输⼊：520 输出：5 2 0

3.2.1 分析和代码实现

这个题目，放在我们面前，首先想到的是，怎么得到这个数的每一位呢
如果n是一位数，n的每一位就是n自己
n是超过1位数的话，就得拆分每一位

		1234%10就能得到4，然后1234/10得到123，这就相当于去掉了4
		然后继续对123%10，就得到了3，再除10去掉3，以此类推
		不断的 %10 和 \10 操作，直到1234的每一位都得到；
		但是这里有个问题就是得到的数字顺序是倒着的

但是我们有了灵感，我们发现其实一个数字的最低位是最容易得到的，通过%10就能得到
那我们假设想写一个函数Print来打印n的每一位，如下表示：

Print(n)
如果n是1234，那表示为
Print(1234) //打印1234的每一位
其中1234中的4可以通过%10得到，那么
Print(1234)就可以拆分为两步：
1. Print(1234/10) //打印123的每一位
2. printf(1234%10) //打印4
完成上述2步，那就完成了1234每一位的打印
那么Print(123)又可以拆分为Print(123/10) + printf(123%10)

以此类推下去，就有：

   Print(1234)
==>Print(123) + printf(4)
==>Print(12) + printf(3)
==>Print(1) + printf(2)
==>printf(1) 

直到被打印的数字变成一位数的时候，就不需要再拆分，递归结束。
那么代码完成也就比较清楚：

void Print(int n)
{
 if(n>9)
	 Print(n/10);
 printf("%d ", n%10);
}
int main()
{
 int m = 0;
 scanf("%d", &m);
 Print(m);
 return 0;
}

输⼊和输出结果：

在这个解题的过程中，我们就是使用了大事化小的思路
把Print(1234) 打印1234每一位，拆解为⾸先Print(123)打印123的每一位，再打印得到的4
把Print(123)打印123每一位，拆解为⾸先Print(12)打印12的每一位，再打印得到的3
直到Print打印的是一位数，直接打印就行。

四. 递归与迭代

递归是一种很好的编程技巧，但是很多技巧一样，也是可能被误用的，就像举例1一样，看到推导的公
式，很容易就被写成递归的形式：

int Fact(int n)
{
 if(n<=0)
 return 1;
 else
 return n*Fact(n-1);
}

Fact函数是可以产生正确的结果，但是在递归函数调用的过程中涉及一些运行时的开销。

在C语言中每一次函数调⽤，都要需要为本次函数调用在栈区申请一块内存空间
来保存函数调用期间的各种局部变量的值，
这块空间被称为运行时堆栈，或者函数栈帧。
函数不返回，函数对应的栈帧空间就一直占用，
所以如果函数调用有中存在递归调用的话，每一次递归
函数调用都会开辟属于自己的栈帧空间，
直到函数递归不再继续，开始回归，才逐层释放栈帧空间。
所以如果采用函数递归的方式完成代码，递归层次太深，就会浪费太多的栈帧空间，
也可能引起栈溢出（stack over flow）的问题。

所以如果不想使用递归就得想其他的办法，通常就是迭代的方式（通常就是循环的方式）。
比如：计算n的阶乘，也是可以产生1~n的数字累计乘在一起的。

int Fact(int n)
{
 int i = 0;
 int ret = 1;
 for(i=1; i<=n; i++)
 {
 ret *= i;
 }
 return ret;
 }

上述代码是能够完成任务，并且效率是比递归的方式更好的。
事实上，我们看到的许多问题是以递归的形式进行解释的，这只是因为它比非递归的形式更加清晰，但是这些问题的迭代实现往往比递归实现效率更高。
当一个问题非常复杂，难以使用迭代的方式实现时，此时递归实现的简洁性便可以补偿它所带来的运行时开销。

4.1 举例3：求第n个斐波那契数

我们也能举出更加极端的例子，就像计算第n个斐波那契数，是不适合使用递归求解的，但是斐波那契数的问题通过是使用递归的形式描述的，如下：

看到这公式，很容易诱导我们将代码写成递归的形式，如下所示：

int Fib(int n)
{
 if(n<=2)
 return 1;
 else
 return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}

测试代码：

#include 
int main()
{
 int n = 0;
 scanf("%d", &n);
 int ret = Fib(n);
 printf("%d\n", ret); 
 return 0;
}

当我们n输入为50的时候，需要很长时间才能算出结果，这个计算所花费的时间，是我们很难接受的，这也说明递归的写法是非常低效的，那是为什么呢？
其实递归程序会不断的展开，在展开的过程中，我们很容易就能发现，在递归的过程中会有重复计算，而且递归层次越深，冗余计算就会越多。

我们可以作业测试：

#include 
int count = 0;
int Fib(int n)
{
 if(n == 3)
 count++;//统计第3个斐波那契数被计算的次数
 if(n<=2)
 return 1;
 else
 return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}
int main()
{
 int n = 0;
 scanf("%d", &n);
 int ret = Fib(n);
 printf("%d\n", ret); 
 printf("\ncount = %d\n", count);
 return 0;
}

输出结果：

这里我们看到了，在计算第40个斐波那契数的时候，使用递归方式，第3个斐波那契数就被重复计算了39088169次，这些计算是非常冗余的。所以斐波那契数的计算，使用递归是非常不明智的，我们就得想迭代的方式解决。
我们知道斐波那契数的前2个数都1，然后前2个数相加就是第3个数，那么我们从前往后，从小到大计算就行了。

这样就有下面的代码：

int Fib(int n)
{
 int a = 1;
 int b = 1;
 int c = 1;
 while(n>2)
 {
	 c = a+b;
	 a = b;
	 b = c;
	 n--;
 }
 return c;
}

迭代的方式去实现这个代码，效率就要高出很多了。
有时候，递归虽好，但是也会引人一些问题，所以我们一定不要迷恋递归，适可而止就好。