Fourier分析入门——第13章——信号分析
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第13章 信号分析
13.1 引言
13.2 加窗(windowing)
13.3 用一系列窗口采样(Sampling with an array of windows)
13.4 混叠现象(Aliasing)
13.5 通过插值重建(Reconstruction by interpolation)
13.6 非点采样(Non-point sampling)
13.7 覆盖系数规则(The coverage factor rule)
第13章 信号分析
13.1 引言
信号分析通常涉及两个或多个波形的加法、乘法或卷积。由于这些操作中的每一个在频域中都有其对应项，因此通常可以通过从空间/时间域和频域查看问题来更深入地了解信号分析的结果。 前一章列出的几个定理，尤其是卷积定理，是在通信工程的背景下推导出来的，用于回答诸如“如果时间信号以这样那样的方式被操纵，它的Fourier变换会发生什么变化？”这样的问题。在本章中，我们通过考察加窗(windowing)和采样(sampling)的常见操作来演示这种通用方法的实用性。
13.2 加窗(windowing)
加窗是将一个信号乘以另一个函数的过程，除了某些有限的时间或空间间隔外，任何地方的值为零。 这个操作如图 13.1 所示，其中为所有 x 定义的任意信号函数 s(x) 乘以矩形窗口函数 w(x)，除了区间 -a 到 a 之外，该函数在任何地方都为零。
---------------------------------------------图13.1 加窗卷积频谱---------------------------------------
形成乘积 g(x) = s(x)w(x) 类似于通过正好可以显示(reveals)原始波形的一小部分的一个“窗口”查看信号。请注意，由于图 13.1 中的每个函数都是在所有时间范围内定义的，因此每个函数都可以进行Fourier变换操作以产生如图所示的相应频谱。任何具有Fourier变换的窗口都可以通过下面给出的通用方法对其进行分析。
根据卷积定理，s(x)w(x)乘积的Fourier变换等于原函数的频谱S( f )和窗口函数的频谱W( f )的卷积。即，
G( f ) = S( f ) * W( f ) ---------------------------------------------------------------[13.1]
回顾一下，一般情况下，频谱函数 S( f ) 和 W( f ) 是复数值。如果我们将这些频谱函数显式地表示成实分量和虚分量之后，并应用卷积的分配律属性，我们求得由四个单独卷积组成的解
G( f ) = {Re[S( f )] + i Im[S( f )]} * {Re[W ( f )] + i Im[W ( f )]}
= Re[S( f )] * Re[W ( f )] –Im[S( f )* Im[W ( f ) +
i { Re[S( f )]* Im[W ( f )]+ Im[S( f )]* Re[W ( f )]}-------------------------------[13.2]
假如窗口关于原点对称，正如图13.1中的情况，则 W( f ) 的虚数部分是0(按对称参数)，因此，等式[13.2]缩减为
Re[S( f )] * Re[W ( f )] + i { Im[S( f )]* Re[W ( f )]}-------[13.3]
如果卷积被认为是一种拖尾(smearing)或模糊化(blurring)操作，那么这个结果表明加窗的效果是模糊原始信号的频谱，其模糊量与窗口的宽度成反比。
前述结论的一个重要例子是正弦信号 
,通过宽度为w的矩形窗口观察, 根据等式[11.12]和[11.16],其具有Fourier变换 w sinc( wf ) 。在这种情况下，
(信号)----------------------------------[13.4]
(窗口)---------------------------------------[13.5]
(卷积)-----------[13.6]
在以上这些等式中，这个特别的函数 rect( x )定义为
-----------------------------------------[13.7]
应用卷积的分配律属性，再加上δ 函数的筛选(sifting)属性，这个卷积的频谱简化为
----------------------[13.8]
换句话说，对正弦波加窗的效果是将频谱从带宽为零的纯 δ 函数更改为带宽与窗口宽度成反比变化的 sinc 函数 sin(πx)/πx 。 图 13.2 中说明了一个具体示例，其中通过持续时间为 2 秒的窗口查看 2 Hz 正弦波。 Gabor 函数是对正弦曲线加窗的另一个示例，但具有Gauss曲线而不是矩形曲线。
---------------------------------------图 13.2 加窗一个正弦函数-------------------------------------------------
13.3 用一系列窗口采样(Sampling with an array of windows)
连续波形的点采样可以看作是将波形乘以位于需要采样点的 x 值处的一系列单位δ函数。如果样本点等距分布，则各个δ函数看起来就像梳齿。 因此，将连续函数 comb(x) 定义为——表示样本之间值为零的单位距离分隔的单位δ函数的总和，这样做是有益的。即，
----------------------------------------------------------[13.9]
由于comb(x)是一个具有单位周期的周期函数，所以comb(x)的Fourier变换为comb( f )也就不足为奇了。因此，空间/时间域中的采样操作对应于信号频谱与comb( f )函数的卷积。 如图 13.3 所示(未显示结果的虚部)，此卷积复制了频域中每个 δ 函数周围的原始频谱。 我们可以如下定量地表述这个结果。如果 d 是采样器之间的距离，则
s(x) ↔ S( f )(信号) ---------------------------------------------[13.10]
comb(x/d ) ↔ | d | comb( fd ) (采样器) -------------------------[13.11]
s(x) comb(x/d ) ↔ S( f ) * | d | comb( fd )(卷积) ---------------[13.12]
图 13.3 显示了采样率 R 等于信号带宽 W 两倍的临界情况。
----------------------------------------------图 13.3 采样卷积频谱-----------------------------------------
得出这个结果的另一种方法是从一系列窄脉冲的Fourier级数开始(图 11.2)。 广义等式 [11.9] 对于宽度为 W、高度为 1/W 且单位面积超过单位间隔 L = 1 的脉冲，产生系数值为 
且 
。在极限情况下，当脉冲宽度 W 接近零时，所有谐波系数将具有相同的幅度 
。因此，comb(x) 的Fourier级数将为
![\mathsf{comb}(x) = 1 + 2\sum_{k=0}^{\infty} cos(2 \pi kx)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}[e^{-i(2\pi kx)}-e^{-i(2\pi kx)}]](http://img.e-com-net.com/image/info8/996d3219c4844e56b96d65c818e09e4e.png){kind=small}
------------[13.13]
由于信号与 comb(x) 的乘法一次可以处理一个谐波，调制定理的应用表明，与 k 次谐波相乘将使信号频谱的幅度减半并将其向右平移(正频率方向)和向左平移(负频率方向)一定的量，其结果等于第 k 次谐波的频率。对所有谐波进行此操作的结果是在采样频率的每个谐波处复制信号频谱。
理解频谱 S( f ) 存在多个副本是很重要的，因为采样函数 s(x) 是一个连续函数，采样点之间的所有点的值为零。这与第 3 章和第 4 章中样本点之间的信号未知的情况非常不同。在那种情况下，数据是离散的，而不是连续的，因此Fourier频谱也是离散的，具有有限数量的谐波。 采样理论的经典工程应用通常将被采信号视为连续的模拟信号，通过模拟设备进行滤波、放大和传输。然而，如果样本代表模数转换的输出，则样本之间的信号值是不确定的，而不是零，并且采样数据的频谱是有限的，只有一个信号频谱副本，而不是 无限多份。
13.4 混叠现象(Aliasing)
如图 13.3 所示，如果被采样信号的带宽 w 比频谱中δ函数之间的距离大，则复制的副本将重叠。 这就是前面第7章遇到的混叠(Aliasing)现象。要避免混叠，要求w < R/ 2，也就是信号的带宽必须小于采样频率的一半。 临界值 R/2 称为Nyquist频率(Nyquist frequency)，它是采样过程的一个属性，而不是被采样的信号。 从图形的角度来看，Shannon采样定理表明，只要复制的频谱不重叠，就可以无误地恢复原始频谱。第 13.5 节中描述了一种从采样值中复原(retrieving)原始信号的简单方法。由采样元素晶格(lattice)欠采样引起的二维空间混叠具有与阵列几何形状相关的附加自由度(例如正方形或三角形晶格，并且可能旋转)。 图 13.4 显示了由样本点的三角格(样本之间为零值)产生的混叠示例。 这些Fourier光谱被计算为正弦光栅图案(一对δ函数)的光谱与采样阵列(逆晶格)的光谱的卷积。如果采样点阵是样本间距为S的三角形，则逆点阵是间距常数为 
的三角形，但相对于采样点阵进行了转置和旋转。显示了三种采样配置的示例光谱。 A 行描述了对空间频率略高于采样阵列标称Nyquist频率的垂直或水平光栅进行采样的情况。连续正弦光栅的光谱在左侧面板中由一对圆圈(垂直光栅)和一对十字(水平光栅)表示，加上原点处的另一个 δ 函数，表示光栅的平均亮度。 中心面板显示 0° 方向的采样晶格的光谱中心部分，这将光谱晶格置于 30°方向。 以原点为中心的圆是Nyquist极限概念的二维扩展。我们称这个圆为Nyquist环，因为环的半径表示采样输出可以忠实表示的连续输入的最高空间频率。 严格来说，三角晶格的Nyquist环是一个由最近邻规则定义的六边形：六边形内的所有点都比任何其他晶格节点更接近原点。在这里，我们做出简化的假设，即Nyquist环是圆形的，其半径等于标称Nyquist频率(对于三角形晶格为 0.54/S )。
---------------------------图13.4 将采样光栅(右列)的Fourier光谱计算为连续光栅(左列)的光谱与采样点的三角晶格(中间列)的光谱的卷积的图形描述。 A 行和 B 行中的光栅频率略高于采样阵列的奈奎斯特频率。 C 行中的光栅频率是奈奎斯特频率的两倍。 B 和 C 中的采样阵列相对于 A 中的阵列旋转 15 度。--------------------
图 13.4 的右侧面板显示了对左侧面板和中间面板进行卷积以计算采样刺激的空间频谱的结果。 卷积创建源光谱的多个副本，一个副本以阵列光谱中的每个点为中心。 为了将此面板用作预测欠采样产生的混叠模式的图形方法，我们将注意力集中在Nyquist环的内部，因为这是满足采样定理的空间频率域。 当源光栅超过阵列的Nyquist频率时，采样激励的频谱将落在Nyquist环之外。然而，以附近格点为中心的源光谱的其他副本可能落在Nyquist环内，因此伪装成Nyquist极限以下的低频光栅。欠采样时高频成分伪装成低频成分的过程有时称为频谱泄漏或折叠，是混叠的本质。B 行中描绘的刺激光谱与 A 行中的光栅频率相同，但旋转了 15°。C 行中描绘的频谱也适用于旋转光栅，但空间频率是Nyquist频率的两倍。
如第 13.C 节所述，存在Nyquist环外的频谱部分是因为采样光栅被假定为连续的，采样点之间的值为零。 这将是一个合适的模型，例如，由针孔孔径的重叠阵列掩蔽的光栅模型，因为针孔之间的强度将为零。然而，对于在视网膜上成像的连续光栅被光感受器阵列采样时产生的离散神经图像，这将是一个不合适的模型。 尽管视觉世界在空间上是连续的，即使被针孔阵列掩盖，视觉神经元离散阵列携带的神经图像在空间上也是离散的。更一般地说，模拟采样的空间连续域和数字采样的空间离散域之间的差异对于描述它们各自的频谱具有重要影响，因为连续函数具有无限带宽，而离散函数具有有限带宽。
总之，离散数字采样图像的频谱将仅包含Nyquist环内的那些空间频率。不需要后续处理去除超过Nyquist极限的高空间频率分量，因为它们不存在于采样图像中。例如，没有必要假设一种生理机制在后感受器视觉系统中强加一个“可见窗口”以去除超出光感受器Nyquist极限的频谱的高频部分，因为这些频率不存在于由光感受器产生的神经图像中。然而，如下面第 13.5 节所述，假设采样图像是连续的通常是一种有用的技巧，目的是可视化神经欠采样如何产生混叠。 这样的计算是有效的，因为尽管离散采样图像中不存在高频，但Nyquist环内的低频(包括混叠)对于离散采样器与连续采样器完全相同，后者将零权重分配给样本之间的所有点。
13.5 通过插值重建(Reconstruction by interpolation)
为了从采样信号中恢复出原始信号，只需要将采样信号通过低通滤波器发送(假设复制的光谱不重叠)。如第 12 章所述，输出信号将等于采样信号与滤波器脉冲响应的卷积。等效地，输出频谱将是输入频谱与滤波器传输函数的乘积。理想的低通滤波器具有矩形传输函数 rect(f/w)，其中 w 是滤波器的带宽。这种滤波器的脉冲响应是 wsinc(wx)，它意味着可以通过将采样信号与 sinc(wx) 函数进行卷积来恢复原始信号，如图 13.5 所示。 因此，sinc(x) 函数通常称为插值函数。公共域程序 interpsinc.m 在 Matlab 中实现了这种插值方法。
-------------------------------图 13.5 频谱加窗插值--------------------------
13.6 非点采样(Non-point sampling)
经常出现这样的情况，即信号不是在单个点上采样，而是在某个有限的间隔或孔径上采样。 根据具体情况，可以采用两种不同的方式制定采样操作。在其中的第一个采样(图 13.6)中，采样是输入与连续采样函数的乘积，其中图 13.3 的 δ 函数被非零宽度的脉冲所取代。 这种情况下的输出是通过Fourier变换在频域中描述的连续函数。第二种情况，进一步描述，导致离散输出适当地由离散Fourier级数而不是Fourier变换描述。
当所有采样元素的大小相同时，为了确定图 13.5 中采样信号的频谱，我们将采样器数组描述为与加权函数卷积的δ函数数组，该加权函数考虑了采样元素的范围。例如，如果采样元素在整个采样持续时间内对输入进行平均加权，则采样函数 q(x) 的一维描述将是
q(x) = rect( x/r ) * comb(x/d )---------------------------------[13.14]
在此表达式中，参数 r 是采样孔径的(正)半径，参数 d 是采样器之间的(正)距离。
使用与上面第 13.3 节中相同的方法，我们可以将此采样问题公式化如下。
s(x) ↔ S( f )(信号) ---------------------------------------------[13.15]
rect( x/r ) * comb(x/d ) ↔ | r |sinc(fr). d comb( fd )(采样器)-----[13.16]
s(x).( rect( x/r ) * comb(x/d ))↔ S( f )* [ r sinc(fr). d comb( fd )](卷积) ---------------[13.17]
根据等式 [13.16]，采样器的非零宽度的影响是用 sinc( f ) 函数调制 comb( f ) 频谱，如图 13.6 所示。结果，信号频谱的高频副本被衰减(attenuated)。
要考虑的第二种场景是当离散采样元件(传感器)将输入积分到我们可能称为接受域(receptive field)的某个有限区域时的情况。例如，视网膜图像由感光器采样，感光器在直径明显大于零的入口孔径上整合光。 如果这些采样元件紧密排列，则采样阵列的中心间距等于单个采样元件的直径。 物理约束可能会阻止各个传感器实际重叠，但有时这些物理约束并不适用。 例如，锥形感光器在视网膜上不重叠，但当通过眼睛的光学系统投射到物体空间时，它们的接受域确实重叠。图 13.7 显示了一个具体示例，用于刺激重叠接受域的物理对象以产生视锥细胞反应或视神经反应的离散神经图像。类似的情况出现在天文学中，其中具有重叠覆盖天空的接收天线阵列用于对到达地球表面的无线电波或光波进行采样。
-------------------------------图 13.7 采样器重叠阵列的生理学示例。 离散神经图像产生于对视网膜图像 i(x) 进行采样。 视网膜内的空间整合为视神经 (A) 的中间神经元和输出神经元的重叠神经接受域提供了机会。 当投射到物体空间 (B) 时，即使感光器传感器的接受域也会发生重叠。---------------------------
最简单的分析案例是当单个传感器对落在其接受域上的刺激的加权组合做出线性响应时的情况。在这种情况下，单个传感器对输入信号 i(x) 的响应 r 将通过在传感器的接收域上对输入与加权函数 w(x) 的乘积进行积分来找到。即，
------------------------------------------------------[13.18]
如果阵列中的每个传感器都具有相同的特性，那么我们可以应用移位定理来确定阵列中第 j 个元素的加权函数 
，该元素具有以位置 
为中心的接受区，
-----------------------------------------------------------------------[13.19]
这个对应的响应 
可通过结合 [13.18] 和 [13.19] 而求得，给出
---------------------------------------------[13.20]
体现在等式[13.20]中的结果，可以从一个更熟悉的有利位置来看，暂时忽略采样图像是离散的这一事实，如图 13.8A 所示。 也就是说，考虑用连续空间变量 u 代替 。 那么方程[13.20]可以改写为
------------------------------------------[13.21]
这被认为是互相关性积分。换句话说，我们寻求的离散函数是通过输入与传感器的接收加权函数的互相关进行插值的。 因此，我们可以通过评估采样器数组中表示的那些特定位置 处的互相关结果来复原离散函数。使用标准的五角星 (★) 符号表示互相关，这个结果写为
![r_j = [w(x) \bigstar i(x)]|_{x= x_j}](http://img.e-com-net.com/image/info8/68a99c69629143a0949cbbff50621412.png){kind=small}
-----------------------------------------------------------[13.22]
用卷积 (✳) 代替笨拙的互相关运算产生
![r_j = [w(x) * i(x)]|_{x= x_j}](http://img.e-com-net.com/image/info8/c4ed87472e644eed905c8b7c0749b2c6.png){kind=small}
----------------------------------------------------------[13.23]
总之，离散采样图像是通过首先将输入与传感器接受域的空间或时间加权函数进行卷积，然后在传感器阵列占据的位置对结果进行采样来求得的。要了解这是如何工作的，请考虑为点源输入求得采样输出的问题。如果我们用脉冲增量 ( δ ) 函数表示此输入 i(x)，则脉冲函数的筛选特性会产生
![r_j = [w(-x) * \delta(x)]|_{x= x_j}](http://img.e-com-net.com/image/info8/29b2091eeeea4336a375f79ef3b05a59.png){kind=small}
----------------------------------------------------------------------------[13.24]
换句话说，这个等式表示线性传感器的同质阵列响应点激励的采样输出等于它们的共同接收加权函数，反映在原点附近，并在阵列占据的那些位置进行计算。该输出可能称为采样阵列的离散点扩散函数 (PSF)(图 13.8B）。这个离散的 PSF关于原点反射，因为右侧的神经元根据左侧的加权函数做出响应。
等式[13.24]的生理应用如图 13.8 所示。 离散神经图像被视为三个顺序处理阶段后的结果。首先，对象 o( x ) 被光学过滤(通过与 p( x ) 卷积，即光学 p.s.f.)以产生光学视网膜图像。接下来，该视网膜图像经过神经过滤(通过与神经 p.s.f. n( x ) = w(-x) 卷积)以形成假设的连续神经图像。 最后，输出神经元(神经节细胞)阵列对连续神经图像进行点采样，以生成离散神经图像，准备好通过视神经传输到大脑。注意等式[13.23]中体现的观点的变化。最初，视网膜的输出阶段被描绘成一组有限的、重叠的接受域，它们同时对视网膜图像进行采样和过滤。 现在这个双重功能被分成两个不同的阶段：通过接受域进行神经过滤，然后用一系列点采样器进行采样。因此我们看到，非点采样器的神经过滤等同于更传统的过滤形式，例如光学模糊提供的过滤。
-------------------------------图 13.8 重叠有限采样与过滤图像的点采样的等效性。 对象被光学过滤以产生连续的视网膜图像，该图像由神经接受域再次过滤以产生在离散点(A)采样的假设的连续神经图像。 对于点源，生成的神经图像是一个离散的响应数组，称为采样数组 (B) 的离散点扩散函数。---------------------------
13.7 覆盖系数规则(The coverage factor rule)
由于有限采样器包含低通滤波元件，因此如果接受域与阵列间距相比相对较宽，则它们可能成为有效的抗混叠滤波器。 通过使用 Bracewell 的等效带宽定理，我们可以在不详细了解接受域加权函数形状的情况下定量地发展这个思想。 该定理基于中心坐标定理，指出滤波器的等效宽度与等效带宽的乘积为1。 根据定义，函数的等效宽度是高度等于中心纵坐标且面积与函数的面积相同的矩形的宽度。在本文中，传感器的等效宽度是接受域的等效直径 
(图 13.9A)。该滤波器在频域中的等效宽度是理想的低通滤波器的宽度，其高度和面积与接受域的Fourier 变换相同(图 13.9B)。等效截断频率(cutoff frequency) 
(a.k.a “带宽”)将会是等效带宽(从 延伸到 )的一半，因此(根据等效带宽定理) ，
。为了避免混叠(aliasing),滤波器的截断频率 必须小于由阵列的特征间距 S 设置的Nyquist频率(0.5/S)。因此，当 
时，即，当等效接收域半径超过域间距时(见图13.10)，可以避免混叠现象。
-----------------------------图13.9 (左图)示例一维接收域加权函数 w(x) = sinc(x/d)，d = 0.5 以及面积和高度与 w(x) 相等的等效矩形轮廓。(右图)接收域加权函数的Fourier变换为 W( f ) = 宽度为 1/ d、带宽为 1/2 d 的矩形。----------------
-----------------------------图13.10 接收域, 图 13.9 中的接收域加权函数数组，间距等于接收域的等效半径。 这是在离散响应数组中避免混叠所需的最小间距-----------------------------------
类似的推理思路也适用于二维接收域，在图 13.11A 中，接收域由一系列正方形瓷砖(tiles)镶嵌(tessellated)而成，每个瓷砖包含视觉神经元的圆形接收域。 假设域的径向(radial)对称性，将 Bracewell 定理推广到二维接收域，表明等效宽度与等效带宽的乘积为 4/π ，因此(按以上的标准)，单个神经元的截断频率为 
。阵列的Nyquist频率会随光栅方向略有不同，但 0.5/S 仍然是一个有用的下限。 因此，抗混叠要求是 
。 换句话说，如果感受野的等效半径超过 4/π 乘以感受野间距，则可以避免混叠。 在此分析假定的近似水平内，4/π与单位相同，因此避免混叠的一维和二维要求基本相同。 因此，我们从这些论点中得出结论，有效的抗混叠过滤要求接收域的半径大于接收域之间的间距(即 R > S )。 图 13.10B 描绘了临界情况 (R = S)，以及同时处于阵列Nyquist频率和神经光学滤波器截止频率的光栅刺激。
----------------------------------图 13.11 方形阵列的圆形接收域覆盖域。 (A) 域被细分为最近邻区域。 S = 字段之间的间距，R = 每个字段的半径。 (B) 个别接收域的截止空间频率恰好与阵列的Nyquist频率相匹配的临界情况。 θ = 阵列Nyquist频率下的光栅周期----------------------------------------
神经生理学家(Neurophysiologists)非常清楚混叠(aliasing)对于视觉系统保真度(fidelity)的重要性，因此设计了一种称为“覆盖因子(coverage factor)”的简单测量方法来评估给定的视网膜结构是否允许混叠。从概念上讲，阵列的覆盖因子衡量存在多少重叠。对于一维阵列，覆盖等于字段的宽度与间距之比。 此处这个度量的效用在于，它在单个参数中封装了大小与间距之比作为混叠决定因素的重要性。用这些术语来说，上述结果表明覆盖率必须大于统一性才能避免混叠。 换句话说，接收域必须重叠。
对于二维阵列，覆盖范围必须更大以防止混叠。 为了计算覆盖率，我们将域细分为最近邻区域(也称为 Voronoi 或 Dirichlet 区域)，如图 13.11A 中的方形阵列所示，然后定义
-------------------------------------[13.25]
对于六边形阵列，瓷砖的面积为 
因此覆盖范围为 
。这种重叠测量的效用在于，它将接收域大小与接收域间距之比作为混叠的决定因素。对于图 13.11B 所示的临界情况，R = S，因此覆盖因子等于π(对于方形阵列)或 (对于六角阵列)。 换句话说，如果覆盖率小于大约 3，我们可以预期会产生混叠。生理学证据表明，为了避免完全混叠，覆盖率可能必须高达 4.5 到 6，因为猫和猴子的视网膜神经节细胞继续对高于噪声水平的光栅做出响应，其空间频率比他们估计的高 1.5 到 2 倍 等效直径。这种对非常高频率的响应可能代表一种“虚假分辨率”，其中响应的相位反转，当接收域分布具有尖角或多个灵敏度峰值时，这是可以预期的。
内容来源：
<< Fourier Analysis for Beginners>> Larry N. Thibos