数学建模笔记（十三）：离散模型（DP、图论）
文章目录
- 一、引论
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- 1.商人安全过河
- 2.循环比赛名次
- 3.数列问题
- 4.通信网络设计
- 5.多阶段最优生产计划
- 6.最短路线问题
- 二、动态规划问题
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- 1.基本概念
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- （一）阶段
- （二）状态
- （三）决策
- （四）策略
- （五）状态转移方程
- （六）指标函数和最优值函数
- 2.基本方程
- 3.以最短路说明基本思想
- 4.最短路径问题
- 5.最长单调上升子序列
- 6.最大连续子段和
- 三、图与网络
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- 1.图与网络的发展简史
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- （一）七桥问题
- （二）随机图
- （三）小世界实验（六度理论）
- （四）弱连接的强度
- 2.图的基本概念
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- （一）无向图和有向图
- （二）无权图和加权图
- （三）多重图和简单图
- （四）链、圈、路、回路
- （五）连通图
- （六）子图、支撑子图
- （七）树、支撑树
- 3.图的常用概念
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- （一）节点的度
- （二）平均路径长度
- （三）最小支撑树
- （四）最短路
- （五）介数（影响力）
- （六） K − s h e l l K-shell K−shell值
- （七）邻接矩阵
- 4.最小支撑数
- 5.最短路的求法
- 四、实例分析
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- 1.商人过河
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- （一）动态规划——问题转化
- （二）动态规划——图解法
- （三）最短路——问题转化
- 2.循环比赛的名次
-
- （一）问题背景
- （二）竞赛图定义与性质
- （三）双向连通图（得分向量定义与计算）
- （四）累积分数定义与计算
- （五）提出异议（修改邻接矩阵的值，依然采用累积分数计算）
- （六）网络中节点的影响力评价（介数）
- 3.通信网络的费用问题
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- （一）问题背景
- （二）问题一——最小支撑树
- （三）问题二——删点加边
- （四）问题三——删边加边
- 4.多阶段最优生产计划
-
- （一）问题背景
- （二）动态规划求解
- （三）最短路求解
一、引论
1.商人安全过河
2.循环比赛名次
3.数列问题
4.通信网络设计
5.多阶段最优生产计划
6.最短路线问题
二、动态规划问题
1.基本概念
（一）阶段
（二）状态
无后效性
（三）决策
（四）策略
（五）状态转移方程
（六）指标函数和最优值函数
2.基本方程
从前往后
从后往前
3.以最短路说明基本思想
4.最短路径问题
最短路径问题
5.最长单调上升子序列
最长单调上升子序列
6.最大连续子段和
最大连续子段和
三、图与网络
1.图与网络的发展简史
（一）七桥问题
（二）随机图
（三）小世界实验（六度理论）
（四）弱连接的强度
2.图的基本概念
（一）无向图和有向图
（二）无权图和加权图
（三）多重图和简单图
（四）链、圈、路、回路
（五）连通图
（六）子图、支撑子图
（七）树、支撑树
3.图的常用概念
（一）节点的度
（二）平均路径长度
任意两个点之间存在一个最短路径，总共有 n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n-1)}{2} 2n(n−1)种组合
（三）最小支撑树
（四）最短路
（五）介数（影响力）
（六） K − s h e l l K-shell K−shell值
先找出所有度为1的节点，将其删除。然后在剩下的节点中继续查找度为1的节点，并删除。
直到网络中没有度为1的节点，将之前删除的所有度为1的节点kshell值赋值为1,即KS=1。
用相同方法接着查找度为2的节点，并赋值 KS=2。接着是度为3、度为4……并分别赋值KS=3、KS=4……直到网络中所有节点都有kshell值。
KS值越高，表示 影响力越大。
（七）邻接矩阵
4.最小支撑数
最小支撑树
5.最短路的求法
最短路径
四、实例分析
1.商人过河
为满足船的往返，船上要有人驾船才能过河
（一）动态规划——问题转化
k ： k： k：阶段，船过河的次数，过去和返回各算一次，所以可以用奇偶说明往返情况；
s k = ( x k , y k ) s_k=(x_k,y_k) sk=(xk,yk)：状态，船过河第 k k k次后，船出发岸的商人数和随从数， x k x_k xk为商人数， y k y_k yk为随从数；
u k = ( u x k , u y k ) u_k=(ux_k,uy_k) uk=(uxk,uyk)：决策，船第 k k k次过河时船上的商人数和随从数， u x k ux_k uxk商人数， u y k uy_k uyk随从数；
状态转移方程： s k = s k − 1 + ( − 1 ) k u k s_k=s_{k-1}+(-1)^ku_k sk=sk−1+(−1)kuk
目标是令k最小，船使用的次数最少
（二）动态规划——图解法
横坐标表示商人数，纵坐标表示随从数
每个状态要考虑对岸的情况，比如说(2,1)，虽然此时的商人数大于随从数，但对岸的随从数大于商人数，所以不可取，总共有10个点满足条件
红线表示从出发按出发，绿线表示有对岸返回，由于船上一定要有人，所以红线只能向左下方移动，而绿线只能向右上方移动
而且要保证两点间的欧氏距离小于等于2（船有载人上限）
一条由(3,3)到(0,0)红绿交替的路径就代表一种合理的方案
为了避免对某个点多次重复访问而导致的重复方案，所以要求在寻找路径过程中，对已经访问过的点进行标记
当然，这种标记要考虑两种情况：是由出发所导致还是由返回所导致，所以要有两种标记。
（三）最短路——问题转化
x k , y k , 1 x_k,y_k,1 xk,yk,1表示船在出发岸上的商人数 x k x_k xk和随从数 y k y_k yk
x k , y k , 0 x_k,y_k,0 xk,yk,0表示船在对岸上时出发岸上的商人数 x k x_k xk和随从数 y k y_k yk
共有20个点表示不同的状态，红线与绿线表示不同的方向，我们就将问题模型转化为了一个有向图
我们的目标就是找到从（3，3，1）到（0，0，0）的最短路
最短路问题就可以直接使用之前的内容
不过此时只可以判断是否有合法解以及输出一个合法解，却不能直接得知共有多少个合法解
2.循环比赛的名次
（一）问题背景
（二）竞赛图定义与性质
完全路径：从某个顶点出发沿着弧方向经过所有顶点的路径称为完全路径
（三）双向连通图（得分向量定义与计算）
连通图概念解释
强连通图：任意两个顶点之间都存在互达的路径
（四）累积分数定义与计算
s ( 2 ) = A s ( 1 ) = A ∗ A ∗ e s^{(2)}=As^{(1)}=A*A*e s(2)=As(1)=A∗A∗e
通过 A e Ae Ae所得的结果就是之前的得分向量，此时已经出现了一定的排名，我们将 A A A与这个6行1列的矩阵再做一次矩阵乘法，不断重复这个过程。
最终排名将会稳定下来，就可以将稳定的结果作为排名的依据
（五）提出异议（修改邻接矩阵的值，依然采用累积分数计算）
（六）网络中节点的影响力评价（介数）
3.通信网络的费用问题
（一）问题背景
（二）问题一——最小支撑树
最小支撑树
用matlab读取excel中的数据‘
使用matlab命令直接得到最小生成树
可靠性计算
自定义函数
（三）问题二——删点加边
要求将任意一个点从图中删除后，剩下的点中要有90%的点可以相互通信，同时要求给出费用最少的铺设方案
先在保留所有边的基础上，考虑删除哪些点后会使得可靠性达不到要求，然后把这些点都标记下来
接下来的问题就是考虑如何加边
将红色点单独出来，其中那些度为1的点比较特殊，也就是上图中的51、70、77
这三个点都连接着不同的连通图，每个点我们都选择出它与它所连接的第二大的连通图所连接的点（70对应61，77对应71，51对应30），再将这三个连通集合用两条边连起来，那样无论删除三个点中的哪个都可以保证连通
有可能无法得到满足要求的结果，比如说之前选取中出现了问题，所以可能要返回重新计算
（四）问题三——删边加边
与问题二思路一致，找边——加边
4.多阶段最优生产计划
（一）问题背景
（二）动态规划求解
需要注意的是不生产就没有生产成本
（三）最短路求解
