概率论与数理统计-第一章 随机事件及其概率

第一章 随机事件及其概率

1.1 随机事件

一、随机现象

确定性现象：在一定条件下必然出现的现象。
随机现象：在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象。

二、随机试验

目的：对随机现象的统计规律性进行研究。
随机现象的统计规律性：随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性。
试验：对随机现象的观察。
随机试验（E）：具有可重复性、可观察性、不确定性的试验。

三、样本空间

样本点：随机试验的每一种可能的结果
样本空间（S或Ω）：随机试验的所有可能结果（样本点）的集合

四、随机事件

事件：具有某一可观察特征的随机试验的结果（Ω的子集）
随机事件（事件）：在试验中可能发生也可能不发生的事件，如样本空间的子集
必然事件（S或Ω）：在每次试验中必然发生的事件（样本空间）
不可能事件（Ø）：在任何一次试验中都不可能发生的事件（空集）

五、事件的集合表示

任何一个事件都可以用S的某一个子集来表示
基本事件：仅含一个样本点的事件
复合事件：含有两个或两个以上样本点的事件(由基本事件复合)

六、事件的关系与运算

1. A⊂B
2. A=B 事件相等
3. A∪B，(nUi=1)Ai为n个事件A1,…，An的和事件。
4. A∩B，(n∩i=1)Ai为n个事件A1,…，An的积事件。
5. A-B 事件的差
   A-B=A-AB=A非B
6. A∩B=Ø 事件互斥， 基本事件两两互不相容
7. A∪B=S且A∩B=Ø 事件互为对立事件、逆事件。
8. 完备事件组：

• A₁,A₂,…A_n,是有限或可数个事件
• A_i∩A_j=Ø，i!=j,i,j=1,2,…,（两两互斥）
• (U_i)A_i=S（和事件为全集）

A₁,A₂,…A_n,…（可以为空集）是样本空间的一个划分（不能为空集）

七、事件的运算规律

1. 交换律
2. 结合律
3. 分配律
4. 自反律
5. 对偶律(德摩根律)
   
   

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1.2随机事件的概率

一、概率及其性质

频率：在相同条件下进行n次试验，事件A发生的次数 为rn（A），则fn（A）=rn（A）/n为事件A的概率
性质：

1. 0<=fn(A)<=1
2. f_n(S)=1
3. 设A₁,A₂,…A_m是两两互不相容的事件，则
   fn(A₁UA₂U…UA_m)=f_n(A₁)+f_n(A₂)+…+f_n(A_m).
   概率的稳定性：当试验次数增大时，事件A发生的频率总是稳定在一个确定的常数附近，且偏差随着试验次数的增加而越来越小。

概率：在相同条件下重复进行n次试验，频率随着试验次数n的增大而稳定在某个常数p（0<=p<=1)附近。

二、概率的公理化定义

E是随机试验，S是样本空间面间，对E的每一个事件赋予一个实数，记为P（A），若P（A）满足三个条件：

1. 非负性：对每一个事件A，有P（A）>=0;
2. 完备性：P（S）=1；
3. 可列可加性：A₁，A₂，…是两两互斥的事件，则P(（^∞U_i=1）A_i)=(^∞∑_i=1)P(A_i)

则P（A）是事件A的概率

三、概率的性质

1. P（Ø）=0
   注：不可能事件的概率为0，反之不然，如习题1-2 . 4
2. 有限可加性：设A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P（A₁UA₂U…UA_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)
3. P（A¯)=1-P(A)
4. P(A-B)=P(A)-P(AB)
   特别的，若B⊂A

• P(A-B)=P(A)-P(B)
• P(A)>=P(B) ,习题1-2 . 4用到

5. P(A)<=1, 由4可得
6. P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
   P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P©-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

习题1-2

4. P(A)=P(B)=P©=1/4,P(AC)=P(BC)=1/16,P(AB)=0,求事件A，B，C全不发生的概率

P(AB)=0, ABC⊆AB,
->0<=P(ABC)<=P(AB)=0,
->P(ABC)=0

P(AUBUC¯)
=1-P(AUBUC)
=1-(P(A)+P(B)+P©-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC))=1-1/4-1/4-1/4+1/16+1/16=3/8

1.3 古典概型

一、古典概型（等可能概型）

1. 随机试验只有有限个可能的结果
2. 每一个结果发生的可能性大小相同

古典概率

古典方法（确定概率的方法）：
设事件A包含其样本空间S中k个基本事件，则事件A发生的概率
P(A)=k/n=A包含的样本点/S中样本点的总数

二、计算古典概率的方法-排列与组合

1. 基本计数原理

• 加法原理：设完成一件事有m种方式，第i种方式有nᵢ种方法，则完成该件事的方法总数为n1+⋯+nm.
• 乘法原理：设完成一件事有m个步骤，其中第i步有nᵢ种方法，必须通过m个步骤的每一步骤才能完成该事件，则完成该事件的方法总数为n1×n2×⋯×nm.

2. 排列组合方法

• 排列公式
  P^k_n=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=n!/(n-k)!
  全排列：k=Pnn=Pn=n(n-1)(n-2)…2*1=n!
• 组合公式
  C^k_n=P^k_n/k!=n!/(n-k)!k!
  组合系数：
  (n)
  (k)

1.4条件概率

一、条件概率的概念

在事件A发生的概率下，求事件B发生的概率

P(A|B)为在事件A发生的条件下，事件B的条件概率，P(B)为无条件概率。

二、条件概率的定义

条件概率的性质：

1. 对任意事件B，0<=P(B|A)<=1
2. P(S|A)=1
3. 设A₁,…,A_n互不相容则P(A₁U…UA_n|A)=P(A₁|A)+…+P(A_n|A).

P(非B|A)=1-P(A|B)

★三、乘法公式

计算两个事件同时发生的概率
P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)>0)
P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)>0)

★四、全概率公式

设A1,A2,…,An是一个完备时间组，P(Ai)>0,i=1,2,…则
P(B)=(A1)P(B|A1)+…+P(An)P(B|An)+…
例题三个罐子，随机取一罐B，从该罐任意取出一球，求红球概率A。
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)

五、贝叶斯公式

设A1,A2,…,An是一个完备时间组，任一事件B，P(B)>0，有

P(Bi)和P(Bi|A)分别称为原因的先验概率和后验概率

1.5 事件的独立性

一、两个事件的独立性

A,B独立：P(AB)=P(A)P(B)
定理一：若A，B相互独立，P(B)>0.则P(A|B)=P(A);
定理二：A，B相互独立，A与非B，非A与B，非A与非B也相互独立

二、有限个事件的独立性

定义2
A、B、C三个事件，若

• P(AB)=P(A)P(B)
• P(AC)=P(A)P(C )
• P(BC)=P(B)P(C )
• P(ABC)=P(A)P(B)P(C )

则称事件A、B、C相互独立
定义3
设A1，A2，…An是n个事件，若其中任意两个事件均相互独立，则称A1，A2…An相互独立
性质一：若事件A1，A2…An相互独立，则其中任意k(1,n]个事件也相互独立
性质二：若n个事件相互独立，则将其中任意m个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件也相互独立

三、伯努利概型

如果随机试验只有两种可能的结果:事件A发生或事件A不发生，则称这样的试验为伯努利试验，记
P(A)=p,P(非A)=1-p=q
将伯努利试验在相同条件下独立地重复进行n次，称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验，或简称伯努利概型
定理3（伯努利定理）：设咋i一次试验中，事件A发生的概率为p(0,1)，则在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为b(k;n,p)=C^k_n P^k(1-p)^(n-k);
推论1：设在一次试验中，事件A发生的概率为p(0,1)，则在伯努利试验序列中， 事件A在第k次实验中才首次发生的概率为p(1-p)^k-1;