动态规划：最短编辑距离

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P2758 编辑距离

题目描述

设 $A$ 和 $B$ 是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数，将字符串 $A$ 转换为字符串 $B$。这里所说的字符操作共有三种：

1. 删除一个字符；
2. 插入一个字符；
3. 将一个字符改为另一个字符。

$A,B$ 均只包含小写字母。

输入格式

第一行为字符串 $A$；第二行为字符串 $B$；字符串 $A,B$ 的长度均小于 $2000$。

输出格式

只有一个正整数，为最少字符操作次数。

样例 #1

样例输入 #1

sfdqxbw
gfdgw

样例输出 #1

4

提示

对于 $100\%$ 的数据，$1\le |A|,|B|\le 2000$。

算法思想

• 状态表示
  f[i][j]表示将字符串$A$中前i个字符编辑成字符串$B$中前j个字符所要进行的最少操作次数。

• 状态计算，根据最后一步的情况，可以将操作分为$3$类：

  1. 删除字符$A_i$使得两个字符串相匹配，那么要先做到 $A[\mathrm{1...}i-1]$ 和 $B[\mathrm{1...}j]$相同，因此操作次数为f[i-1][j] + 1
  2. 插入字符$B_j$使得两个字符串相匹配，那么要先做到 $A[\mathrm{1...}i]$ 和 $B[\mathrm{1...}j-1]$相同，因此操作次数为f[i][j-1] + 1
  3. 替换字符$A_i$为$B_j$使得字符串相匹配，又需要分两种情况讨论：
     • $A_i=B_j$，操作次数f[i-1][j-1]
     • $A_i\ne B_j$，操作次数f[i-1][j-1] + 1

  最终，f[i][j] 应取以上三种情况的最小值。

• 初始状态：

  1. f[0][i] = i，字符串A中插入i个字符
  2. f[i][0] = i，字符串A中删除i个字符

时间复杂度

状态数为$O(n\times m)$，状态计算过程为O(1)。

代码实现

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 2010;
char a[N], b[N];
int f[N][N];
int main()
{
    cin >> a + 1 >> b + 1;
    int n = strlen(a + 1), m = strlen(b + 1);
    //初始状态
    for(int i = 1; i <= n; i ++) f[i][0] = i;
    for(int i = 1; i <= m; i ++) f[0][i] = i;
    //状态计算
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + 1; //删除和插入操作的最小值+1
            if(a[i] == b[j]) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]); //相等时替换操作
            else f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);//不相等时替换
        }
    cout << f[n][m];
    return 0;
}