对称矩阵的特性

• 实对称矩阵的特征值是实数
• 对称矩阵特征向量正交
• 对称矩阵的主元符号和特征值符号一样

因为特征向量正交,对称矩阵可以分解成$S=Q\Lambda Q^{-1}=Q\Lambda Q^T$,$Q$是正交矩阵

对于等式$Ax=\lambda x$所有部分取共轭总是成立,即
$\overline{A}\overline{x}=\overline{\lambda }\overline{x}$,如果A是实矩阵,有
$A\overline{x}=\overline{\lambda }\overline{x}$,这说明对于实矩阵总有一对特征向量是共轭的,当然实数自己和自己共轭
$S$是实对称矩阵时有
${\overline{x}}^T\lambda x={\overline{x}}^{T}Sx={\overline{x}}^T{\overline{S}}^{T}x={\overline{x}}^T\overline{\lambda }x$
所以有$\lambda =\overline{\lambda }$,因此对称矩阵的特征值都是实数

$x_2^T{S}^T{x}_1=x_2^T{\lambda }_2{x}_1$
$x_2^{T}S{x}_1=x_2^T{\lambda }_1{x}_1$,所以对于对称矩阵,两个不相等的特征值对应的特征向量的积必为0,也就是正交的意思