数据结构----高级排序

二、高级排序

之前我们学习过基础排序,包括冒泡排序,选择排序还有插入排序,并且对他们在最坏情况下的时间复杂度做了分

析,发现都是O(N^2),而平方阶通过我们之前学习算法分析我们知道,随着输入规模的增大,时间成本将急剧上

升,所以这些基本排序方法不能处理更大规模的问题,接下来我们学习一些高级的排序算法,争取降低算法的时间

复杂度最高阶次幂。

2.1希尔排序

希尔排序是插入排序的一种,又称“缩小增量排序”,是插入排序算法的一种更高效的改进版本。

前面学习插入排序的时候,我们会发现一个很不友好的事儿,如果已排序的分组元素为{2,5,7,9,10},未排序的分

组元素为{1,8},那么下一个待插入元素为1,我们需要拿着1从后往前,依次和10,9,7,5,2进行交换位置,才能完成

真正的插入,每次交换只能和相邻的元素交换位置。那如果我们要提高效率,直观的想法就是一次交换,能把1放

到更前面的位置,比如一次交换就能把1插到2和5之间,这样一次交换1就向前走了5个位置,可以减少交换的次

数,这样的需求如何实现呢?接下来我们来看看希尔排序的原理。

需求:

排序前:{9,1,2,5,7,4,8,6,3,5}

排序后:{1,2,3,4,5,5,6,7,8,9}

排序原理:

1.选定一个增长量h,按照增长量h作为数据分组的依据,对数据进行分组;

2.对分好组的每一组数据完成插入排序;

3.减小增长量,最小减为1,重复第二步操作。

数据结构----高级排序_第1张图片

增长量h的确定:增长量h的值每一固定的规则,我们这里采用以下规则:

        int h = 1;

        while (h < a.length / 2) {
            h = 2 * h + 1; //3,7
        }
		//循环结束后我们就可以确定h的最大值;
		//h的减小规则为:
		 h = h / 2;

希尔排序的API设计:

类名 Shell
构造方法 Shell():创建Shell对象
成员方法 1.public static void sort(Comparable[] a):对数组内的元素进行排序
2.private static boolean greater(Comparable v,Comparable w):判断v是否大于w
3.private static void exch(Comparable[] a,int i,int j):交换a数组中,索引i和索引j处的值
public class Shell {
    /*
        对数组a中的元素进行排序
     */
    public static void sort(Comparable[] a) {
        // 1. 根据数组a的长度,确定增长量h的初始值
        int h = 1;
        while (h < a.length / 2) {
            h = 2 * h + 1;
        }
        // 2. 希尔排序
        while (h >= 1) {
            // 排序
            // 2.1 找到待插入的元素
            for (int i = h; i < a.length; i++) {
                // 2.2 把待插入的元素插入到有序数列中
                for (int j = i; j >= h; j -= h) {
                    // 待插入的元素是a[j] ,比较a[j]和a[j-h]
                    if (greater(a[j - h], a[j])) {
                        // 交换元素
                        exch(a, j - h, j);
                    } else {
                        // 带插入元素已经找到了合适的位置,结束循环
                        break;
                    }
                }
            }
            // 减小h的值
            h = h / 2;
        }
    }

    /*
        比较v元素是否大于w
     */
    private static boolean greater(Comparable v, Comparable w) {
        return v.compareTo(w) > 0;
    }

    /*
        数组元素i和j交换位置
     */
    private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
        Comparable temp;
        temp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = temp;
    }
}

public class TestShell {
    public static void main(String[] args) {
        Integer[] arr = {9, 1, 2, 5, 7, 4, 8, 6, 3, 5};
        Shell.sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}
输出:[1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9]

希尔排序的时间复杂度分析

在希尔排序中,增长量h并没有固定的规则,有很多论文研究了各种不同的递增序列,但都无法证明某个序列是最

好的,对于希尔排序的时间复杂度分析,已经超出了我们课程设计的范畴,所以在这里就不做分析了。

我们可以使用事后分析法对希尔排序和插入排序做性能比较。

在资料的测试数据文件夹下有一个reverse_shell_insertion.txt文件,里面存放的是从100000到1的逆向数据,我们

可以根据这个批量数据完成测试。测试的思想:在执行排序前前记录一个时间,在排序完成后记录一个时间,两个

时间的时间差就是排序的耗时。

public class SortCompare {

    // 调用不同的测试方法,完成测试
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        List<Integer> list = new ArrayList();
        BufferedReader reader = new BufferedReader(new FileReader("reverse_arr.txt"));
        String line = null;
        while ((line = reader.readLine()) != null) {
            int i = Integer.parseInt(line);
            list.add(i);
        }
        reader.close();

        Integer[] a = new Integer[list.size()];
        list.toArray(a);
        testInsertion(a);
        testShell(a);
    }

    // 测试希尔排序
    public static void testShell(Integer[] a) {
        long start = System.currentTimeMillis();
        Shell.sort(a);
        long end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("希尔所用时间:" + (end - start) + "ms");

    }

    // 测试插入排序
    public static void testInsertion(Integer[] a) {
        long start = System.currentTimeMillis();
        Insertion.sort(a);
        long end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("插入所用时间:" + (end - start) + "ms");
    }

}

输出:插入所用时间:29351ms
     希尔所用时间:15ms

通过测试发现,在处理大批量数据时,希尔排序的性能确实高于插入排序。

2.2. 归并排序

2.2.1 递归

定义:

定义方法时,在方法内部调用方法本身,称之为递归.

public void show(){
    System.out.println("aaaa");
    show();
}

作用:

它通常把一个大型复杂的问题,层层转换为一个与原问题相似的,规模较小的问题来求解。递归策略只需要少量的

程序就可以描述出解题过程所需要的多次重复计算,大大地减少了程序的代码量。

注意事项:

在递归中,不能无限制的调用自己,必须要有边界条件,能够让递归结束,因为每一次递归调用都会在栈内存开辟

新的空间,重新执行方法,如果递归的层级太深,很容易造成栈内存溢出。

数据结构----高级排序_第2张图片

需求:

请定义一个方法,使用递归完成求N的阶乘;

分析:
    1!: 1
    2!: 2*1=2*1! 
    3!: 3*2*1=3*2! 
    4!: 4*3*2*1=4*3! 
... 
    n!: n*(n-1)*(n-2)...*2*1=n*(n-1)! 
   
    所以,假设有一个方法factorial(n)用来求n的阶乘,那么n的阶乘还可以表示为n*factorial(n-1)

代码实现:

public class TestFactorial {

    public static void main(String[] args) {
        long result = factorial(6);
        System.out.println(result);
    }


    // 求N的阶乘
    public static long factorial(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        return n * factorial(n - 1);
    }

}
输出:720
2.2.2 归并排序

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。将已有序的子

序列合并,得到完全有序的序列;即先使每个子序列有序,再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序

表,称为二路归并。

需求:

排序前:{8,4,5,7,1,3,6,2}

排序后:{1,2,3,4,5,6,7,8}

排序原理:

  1. 尽可能的一组数据拆分成两个元素相等的子组,并对每一个子组继续拆分,直到拆分后的每个子组的元素个数

是1为止。

  1. 将相邻的两个子组进行合并成一个有序的大组;

  2. 不断的重复步骤2,直到最终只有一个组为止。

数据结构----高级排序_第3张图片

归并排序API设计:

类名 Merge
构造方法 Merge():创建Merge对象
成员方法 1.public static void sort(Comparable[] a):对数组内的元素进行排序
2.private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi):对数组a中从索引lo到索引hi之间的元素进行排序
3.private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi):从索引lo到所以mid为一个子组,从索引mid+1到索引hi为另一个子组,把数组a中的这两个子组的数据合并成一个有序的大组(从索引lo到索引hi)
4.private static boolean less(Comparable v,Comparable w):判断v是否小于w
5.private static void exch(Comparable[] a,int i,int j):交换a数组中,索引i和索引j处的值
成员变量 1.private static Comparable[] assist:完成归并操作需要的辅助数组

归并原理:

数据结构----高级排序_第4张图片

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-RrwEcKle-1643076781804)(https://gitee.com/yishianya/pic-go/raw/master/img/20220124195219.png)]

数据结构----高级排序_第5张图片

归并排序代码实现:

public class Merge {

    // 完成归并操作需要的辅助数组
    private static Comparable[] assis;

    /*
        对数组a中的元素进行排序
     */
    public static void sort(Comparable[] a) {
        // 1. 初始化辅助数组assist
        assis = new Comparable[a.length];
        // 2.定义一个lo变量和hi变量,分别记录数组中最小的索引和最大的索引;
        int lo = 0;
        int hi = a.length - 1;
        // 3. 调用sort重载方法完成数组a中,从索引lo到索引hi的元素的排序
        sort(a, lo, hi);
    }

    /*
        对数组a中从索引lo到索引hi之间的元素进行排序
     */
    private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
        // 做安全性校验
        if (hi <= lo) {
            return;
        }
        // 对lo到hi之间的数据进行分组
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;

        // 分别对每一组数据进行排序
        sort(a, lo, mid);
        sort(a, mid + 1, hi);
        // 再把两个组中的数据进行归并
        merge(a, lo, mid, hi);
    }

    /*
        从索引lo到所以mid为一个子 组,从索引mid+1到索引hi为另一个子组,把数组a中的这两个子组的数据合并成一个有序的大组(从索引lo到索引hi)
     */
    private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) {
        // 定义三个指针
        int i = lo;
        int p1 = lo;
        int p2 = mid + 1;
        // 遍历,移动p1指针和p2指针,比较对应索引处的值,找出小得那个,放到辅助数组的
        while (p1 <= mid && p2 <= hi) {
            // 比较对应索引处的值
            if (less(a[p1], a[p2])) {
                assis[i++] = a[p1++];
            } else {
                assis[i++] = a[p2++];
            }
        }
        // 遍历,如果p1的指针没有走完,那么顺序移动p1指针,把对应的元素放到辅助数组的对应索引处
        while (p1 <= mid) {
            assis[i++] = a[p1++];
        }
        // 遍历,如果p2的指针没有走完,那么顺序移动p2指针,把对应的元素放到辅助数组的对应索引处
        while (p2 <= hi) {
            assis[i++] = a[p2++];
        }
        // 把辅助数组中的元素拷贝到原数组中
        for (int index = lo; index <= hi; index++) {
            a[index] = assis[index];
        }

    }

    /*
        比较v元素是否小于w
     */
    private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
        return v.compareTo(w) < 0;
    }

    /*
        数组元素i和j交换位置
     */
    private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
        Comparable temp;
        temp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = temp;
    }
}
public class TestMerge {
    public static void main(String[] args) {
        Integer[] arr = {8, 4, 5, 7, 1, 3, 6, 2};
        Merge.sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}
输出:[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

归并排序时间复杂度分析:

归并排序是分治思想的最典型的例子,上面的算法中,对a[lo…hi]进行排序,先将它分为a[lo…mid]和

a[mid+1…hi]两部分,分别通过递归调用将他们单独排序,最后将有序的子数组归并为最终的排序结果。该递归的

出口在于如果一个数组不能再被分为两个子数组,那么就会执行merge进行归并,在归并的时候判断元素的大小

进行排序。数据结构----高级排序_第6张图片

用树状图来描述归并,如果一个数组有8个元素,那么它将每次除以2找最小的子数组,共拆log8次,值为3,所以

树共有3层,那么自顶向下第k层有2k个子数组,每个数组的长度为2(3-k),归并最多需要2^(3-k)次比较。因此每

层的比较次数为 2^k * 2(3-k)=23,那么3层总共为 3*2^3。

假设元素的个数为n,那么使用归并排序拆分的次数为log2(n),所以共log2(n)层,那么使用log2(n)替换上面32^3

中 的3这个层数,最终得出的归并排序的时间复杂度为:log2(n)* 2^(log2(n))=log2(n)*n,根据大O推导法则,忽略

底数,最终归并排序的时间复杂度为O(nlogn);

归并排序的缺点:

需要申请额外的数组空间,导致空间复杂度提升,是典型的以空间换时间的操作。

2.3 快速排序

快速排序是对冒泡排序的一种改进。它的基本思想是:通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分,其中一

部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小,然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序,整个排序

过程可以递归进行,以此达到整个数据变成有序序列。

需求:

排序前:{6, 1, 2, 7, 9, 3, 4, 5, 8}

排序后:{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

排序原理:

  1. 首先设定一个分界值,通过该分界值将数组分成左右两部分;

  2. 将大于或等于分界值的数据放到到数组右边,小于分界值的数据放到数组的左边。此时左边部分中各元素都小

    于或等于分界值,而右边部分中各元素都大于或等于分界值;

  3. 然后,左边和右边的数据可以独立排序。对于左侧的数组数据,又可以取一个分界值,将该部分数据分成左右

    两部分,同样在左边放置较小值,右边放置较大值。右侧的数组数据也可以做类似处理。

  4. 重复上述过程,可以看出,这是一个递归定义。通过递归将左侧部分排好序后,再递归排好右侧部分的顺序。

    当左侧和右侧两个部分的数据排完序后,整个数组的排序也就完成了。
    数据结构----高级排序_第7张图片

快速排序API设计:

类名 Quick
构造方法 Quick():创建Quick对象
成员方法 1.public static void sort(Comparable[] a):对数组内的元素进行排序
2.private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi):对数组a中从索引lo到索引hi之间的元素进行排序
3.private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi):对数组a中,从索引 lo到索引 hi之间的元素进行分组,并返回分组界限对应的索引
4.private static boolean less(Comparable v,Comparable w):判断v是否小于w
5.private static void exch(Comparable[] a,int i,int j):交换a数组中,索引i和索引j处的值

切分原理:

把一个数组切分成两个子数组的基本思想:

  1. 找一个基准值,用两个指针分别指向数组的头部和尾部;

  2. 先从尾部向头部开始搜索一个比基准值小的元素,搜索到即停止,并记录指针的位置;

  3. 再从头部向尾部开始搜索一个比基准值大的元素,搜索到即停止,并记录指针的位置;

  4. 交换当前左边指针位置和右边指针位置的元素;

  5. 重复2,3,4步骤,直到左边指针的值大于右边指针的值停止。

数据结构----高级排序_第8张图片

数据结构----高级排序_第9张图片

快速排序代码实现:

public class Quick {
    /*
        对数组a中的元素进行排序
     */
    public static void sort(Comparable[] a) {
        int lo = 0;
        int hi = a.length - 1;
        sort(a, lo, hi);
    }

    /*
        对数组a中从索引lo到索引hi之间的元素进行排序
     */
    private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
        // 安全性校验
        if (hi <= lo) {
            return;
        }

        // 需要对数组中lo索引到hi索引出的元素进行分组(左子组合右子组)
        int partition = partition(a, lo, hi);// 返回的是分组的分界值所在的索引,分界值位置变化后的索引
        // 让左子组有序
        sort(a, lo, partition - 1);
        // 让右子组有序
        sort(a, partition + 1, hi);
    }

    /*
        对数组a中,从索引 lo到索引 hi之间的元素进行分组,并返回分组界限对应的索引
     */
    private static int partition(Comparable[] a, int lo, int hi) {
        // 确定分界值
        Comparable key = a[lo];
        // 定义两个指针,分别指向带切分元素的最小索引处和最大索引处的下一个位置
        int left = lo;
        int right = hi + 1;
        // 切分
        while (true) {
            //  先从右往左扫描,移动right指针,找到一个比分界值小的元素,停止
            while (less(key, a[--right])) {
                if (right == lo) {
                    break;
                }
            }
            //  先从左往右扫描,移动left指针,找到一个比分界值大的元素,停止
            while (!less(key, a[++left])) {
                if (left == hi) {
                    break;
                }
            }
            //判断 left>=right ,如果是,则证明元素扫描完毕,结束循环,如果不是,则交换元素即可
            if (left >= right) {
                break;
            } else {
                exch(a, left, right);
            }
        }
        // 交换分界值
        exch(a, lo, right);
        return right;
    }

    /*
        比较v元素是否小于w
     */
    private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
        return v.compareTo(w) < 0;
    }

    /*
        数组元素i和j交换位置
     */
    private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
        Comparable temp;
        temp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = temp;
    }
}

public class TestQuick {
    public static void main(String[] args) {
        Integer[] arr = {1, 6, 2, 7, 9, 3, 4, 5, 8};
        Quick.sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}
输出:[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

快速排序和归并排序的区别:

快速排序是另外一种分治的排序算法,它将一个数组分成两个子数组,将两部分独立的排序。快速排序和归并排序

是互补的:归并排序将数组分成两个子数组分别排序,并将有序的子数组归并从而将整个数组排序,而快速排序的

方式则是当两个数组都有序时,整个数组自然就有序了。在归并排序中,一个数组被等分为两半,归并调用发生在

处理整个数组之前,在快速排序中,切分数组的位置取决于数组的内容,递归调用发生在处理整个数组之后。

快速排序时间复杂度分析:

快速排序的一次切分从两头开始交替搜索,直到left和right重合,因此,一次切分算法的时间复杂度为O(n),但整个

快速排序的时间复杂度和切分的次数相关。

最优情况:每一次切分选择的基准数字刚好将当前序列等分。

数据结构----高级排序_第10张图片

如果我们把数组的切分看做是一个树,那么上图就是它的最优情况的图示,共切分了logn次,所以,最优情况下

快速排序的时间复杂度为O(nlogn);

最坏情况:每一次切分选择的基准数字是当前序列中最大数或者最小数,这使得每次切分都会有一个子组,那么总

共就得切分n次,所以,最坏情况下,快速排序的时间复杂度为O(n^2);

数据结构----高级排序_第11张图片

平均情况:每一次切分选择的基准数字不是最大值和最小值,也不是中值,这种情况我们也可以用数学归纳法证

明,快速排序的时间复杂度为O(nlogn),由于数学归纳法有很多数学相关的知识,容易使我们混乱,所以这里就不

对平均情况的时间复杂度做证明了。

2.4 排序的稳定性

稳定性的定义:

数组arr中有若干元素,其中A元素和B元素相等,并且A元素在B元素前面,如果使用某种排序算法排序后,能够保

证A元素依然在B元素的前面,可以说这个该算法是稳定的。

数据结构----高级排序_第12张图片

稳定性的意义:

如果一组数据只需要一次排序,则稳定性一般是没有意义的,如果一组数据需要多次排序,稳定性是有意义的。例

如要排序的内容是一组商品对象,第一次排序按照价格由低到高排序,第二次排序按照销量由高到低排序,如果第

二次排序使用稳定性算法,就可以使得相同销量的对象依旧保持着价格高低的顺序展现,只有销量不同的对象才需

要重新排序。这样既可以保持第一次排序的原有意义,而且可以减少系统开销。

第一次按照价格从低到高排序:

数据结构----高级排序_第13张图片

第二次按照销量进行从高到低排序:
数据结构----高级排序_第14张图片

常见排序算法的稳定性:

冒泡排序:

只有当arr[i]>arr[i+1]的时候,才会交换元素的位置,而相等的时候并不交换位置,所以冒泡排序是一种稳定排序

算法。

选择排序:

选择排序是给每个位置选择当前元素最小的,例如有数据{5(1),8 ,5(2), 2, 9 },第一遍选择到的最小元素为2,

所以5(1)会和2进行交换位置,此时5(1)到了5(2)后面,破坏了稳定性,所以选择排序是一种不稳定的排序算法。

插入排序:

比较是从有序序列的末尾开始,也就是想要插入的元素和已经有序的最大者开始比起,如果比它大则直接插入在其

后面,否则一直往前找直到找到它该插入的位置。如果碰见一个和插入元素相等的,那么把要插入的元素放在相等

元素的后面。所以,相等元素的前后顺序没有改变,从原无序序列出去的顺序就是排好序后的顺序,所以插入排序

稳定的。

希尔排序:

希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序 ,虽然一次插入排序是稳定的,不会改变相同元素的相对顺序,但在

不同的插入排序过程中,相同的元素可能在各自的插入排序中移动,最后其稳定性就会被打乱,所以希尔排序是不稳定的。

归并排序:

归并排序在归并的过程中,只有arr[i]

并不会破坏稳定性,归并排序是稳定的。

快速排序:

快速排序需要一个基准值,在基准值的右侧找一个比基准值小的元素,在基准值的左侧找一个比基准值大的元素,

然后交换这两个元素,此时会破坏稳定性,所以快速排序是一种不稳定的算法。

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