数据结构----高级排序
二、高级排序
之前我们学习过基础排序，包括冒泡排序，选择排序还有插入排序，并且对他们在最坏情况下的时间复杂度做了分
析，发现都是O(N^2)，而平方阶通过我们之前学习算法分析我们知道，随着输入规模的增大，时间成本将急剧上
升，所以这些基本排序方法不能处理更大规模的问题，接下来我们学习一些高级的排序算法，争取降低算法的时间
复杂度最高阶次幂。
2.1希尔排序
希尔排序是插入排序的一种，又称“缩小增量排序”，是插入排序算法的一种更高效的改进版本。
前面学习插入排序的时候，我们会发现一个很不友好的事儿，如果已排序的分组元素为{2,5,7,9,10}，未排序的分
组元素为{1,8}，那么下一个待插入元素为1，我们需要拿着1从后往前，依次和10,9,7,5,2进行交换位置，才能完成
真正的插入，每次交换只能和相邻的元素交换位置。那如果我们要提高效率，直观的想法就是一次交换，能把1放
到更前面的位置，比如一次交换就能把1插到2和5之间，这样一次交换1就向前走了5个位置，可以减少交换的次
数，这样的需求如何实现呢？接下来我们来看看希尔排序的原理。
需求：
排序前：{9,1,2,5,7,4,8,6,3,5}
排序后：{1,2,3,4,5,5,6,7,8,9}
排序原理：
1.选定一个增长量h，按照增长量h作为数据分组的依据，对数据进行分组；
2.对分好组的每一组数据完成插入排序；
3.减小增长量，最小减为1，重复第二步操作。
增长量h的确定：增长量h的值每一固定的规则，我们这里采用以下规则：
int h = 1;
while (h < a.length / 2) {
h = 2 * h + 1; //3,7
}
//循环结束后我们就可以确定h的最大值；
//h的减小规则为：
h = h / 2;
希尔排序的API设计：
| 类名 | Shell |
|---|---|
| 构造方法 | Shell()：创建Shell对象 |
| 成员方法 | 1.public static void sort(Comparable[] a)：对数组内的元素进行排序 2.private static boolean greater(Comparable v,Comparable w):判断v是否大于w 3.private static void exch(Comparable[] a,int i,int j)：交换a数组中，索引i和索引j处的值 |
public class Shell {
/*
对数组a中的元素进行排序
*/
public static void sort(Comparable[] a) {
// 1. 根据数组a的长度，确定增长量h的初始值
int h = 1;
while (h < a.length / 2) {
h = 2 * h + 1;
}
// 2. 希尔排序
while (h >= 1) {
// 排序
// 2.1 找到待插入的元素
for (int i = h; i < a.length; i++) {
// 2.2 把待插入的元素插入到有序数列中
for (int j = i; j >= h; j -= h) {
// 待插入的元素是a[j] ,比较a[j]和a[j-h]
if (greater(a[j - h], a[j])) {
// 交换元素
exch(a, j - h, j);
} else {
// 带插入元素已经找到了合适的位置，结束循环
break;
}
}
}
// 减小h的值
h = h / 2;
}
}
/*
比较v元素是否大于w
*/
private static boolean greater(Comparable v, Comparable w) {
return v.compareTo(w) > 0;
}
/*
数组元素i和j交换位置
*/
private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
Comparable temp;
temp = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = temp;
}
}
public class TestShell {
public static void main(String[] args) {
Integer[] arr = {9, 1, 2, 5, 7, 4, 8, 6, 3, 5};
Shell.sort(arr);
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
}
输出：[1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9]
希尔排序的时间复杂度分析
在希尔排序中，增长量h并没有固定的规则，有很多论文研究了各种不同的递增序列，但都无法证明某个序列是最
好的，对于希尔排序的时间复杂度分析，已经超出了我们课程设计的范畴，所以在这里就不做分析了。
我们可以使用事后分析法对希尔排序和插入排序做性能比较。
在资料的测试数据文件夹下有一个reverse_shell_insertion.txt文件，里面存放的是从100000到1的逆向数据，我们
可以根据这个批量数据完成测试。测试的思想：在执行排序前前记录一个时间，在排序完成后记录一个时间，两个
时间的时间差就是排序的耗时。
public class SortCompare {
// 调用不同的测试方法，完成测试
public static void main(String[] args) throws IOException {
List<Integer> list = new ArrayList();
BufferedReader reader = new BufferedReader(new FileReader("reverse_arr.txt"));
String line = null;
while ((line = reader.readLine()) != null) {
int i = Integer.parseInt(line);
list.add(i);
}
reader.close();
Integer[] a = new Integer[list.size()];
list.toArray(a);
testInsertion(a);
testShell(a);
}
// 测试希尔排序
public static void testShell(Integer[] a) {
long start = System.currentTimeMillis();
Shell.sort(a);
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("希尔所用时间：" + (end - start) + "ms");
}
// 测试插入排序
public static void testInsertion(Integer[] a) {
long start = System.currentTimeMillis();
Insertion.sort(a);
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("插入所用时间：" + (end - start) + "ms");
}
}
输出：插入所用时间：29351ms
希尔所用时间：15ms
通过测试发现，在处理大批量数据时，希尔排序的性能确实高于插入排序。
2.2. 归并排序
2.2.1 递归
定义：
定义方法时，在方法内部调用方法本身，称之为递归.
public void show(){
System.out.println("aaaa");
show();
}
作用：
它通常把一个大型复杂的问题，层层转换为一个与原问题相似的，规模较小的问题来求解。递归策略只需要少量的
程序就可以描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码量。
注意事项：
在递归中，不能无限制的调用自己，必须要有边界条件，能够让递归结束，因为每一次递归调用都会在栈内存开辟
新的空间，重新执行方法，如果递归的层级太深，很容易造成栈内存溢出。
需求：
请定义一个方法，使用递归完成求N的阶乘；
分析：
1!: 1
2!: 2*1=2*1!
3!: 3*2*1=3*2!
4!: 4*3*2*1=4*3!
...
n!: n*(n-1)*(n-2)...*2*1=n*(n-1)!
所以，假设有一个方法factorial(n)用来求n的阶乘，那么n的阶乘还可以表示为n*factorial(n-1)
代码实现：
public class TestFactorial {
public static void main(String[] args) {
long result = factorial(6);
System.out.println(result);
}
// 求N的阶乘
public static long factorial(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
}
return n * factorial(n - 1);
}
}
输出：720
2.2.2 归并排序
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。将已有序的子
序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序
表，称为二路归并。
需求：
排序前：{8,4,5,7,1,3,6,2}
排序后：{1,2,3,4,5,6,7,8}
排序原理：
- 尽可能的一组数据拆分成两个元素相等的子组，并对每一个子组继续拆分，直到拆分后的每个子组的元素个数
是1为止。
-
将相邻的两个子组进行合并成一个有序的大组；
-
不断的重复步骤2，直到最终只有一个组为止。
归并排序API设计：
| 类名 | Merge |
|---|---|
| 构造方法 | Merge()：创建Merge对象 |
| 成员方法 | 1.public static void sort(Comparable[] a)：对数组内的元素进行排序 2.private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi)：对数组a中从索引lo到索引hi之间的元素进行排序 3.private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi):从索引lo到所以mid为一个子组，从索引mid+1到索引hi为另一个子组，把数组a中的这两个子组的数据合并成一个有序的大组（从索引lo到索引hi） 4.private static boolean less(Comparable v,Comparable w):判断v是否小于w 5.private static void exch(Comparable[] a,int i,int j)：交换a数组中，索引i和索引j处的值 |
| 成员变量 | 1.private static Comparable[] assist：完成归并操作需要的辅助数组 |
归并原理：
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归并排序代码实现：
public class Merge {
// 完成归并操作需要的辅助数组
private static Comparable[] assis;
/*
对数组a中的元素进行排序
*/
public static void sort(Comparable[] a) {
// 1. 初始化辅助数组assist
assis = new Comparable[a.length];
// 2.定义一个lo变量和hi变量，分别记录数组中最小的索引和最大的索引；
int lo = 0;
int hi = a.length - 1;
// 3. 调用sort重载方法完成数组a中，从索引lo到索引hi的元素的排序
sort(a, lo, hi);
}
/*
对数组a中从索引lo到索引hi之间的元素进行排序
*/
private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
// 做安全性校验
if (hi <= lo) {
return;
}
// 对lo到hi之间的数据进行分组
int mid = lo + (hi - lo) / 2;
// 分别对每一组数据进行排序
sort(a, lo, mid);
sort(a, mid + 1, hi);
// 再把两个组中的数据进行归并
merge(a, lo, mid, hi);
}
/*
从索引lo到所以mid为一个子 组，从索引mid+1到索引hi为另一个子组，把数组a中的这两个子组的数据合并成一个有序的大组（从索引lo到索引hi）
*/
private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) {
// 定义三个指针
int i = lo;
int p1 = lo;
int p2 = mid + 1;
// 遍历，移动p1指针和p2指针,比较对应索引处的值,找出小得那个，放到辅助数组的
while (p1 <= mid && p2 <= hi) {
// 比较对应索引处的值
if (less(a[p1], a[p2])) {
assis[i++] = a[p1++];
} else {
assis[i++] = a[p2++];
}
}
// 遍历，如果p1的指针没有走完，那么顺序移动p1指针，把对应的元素放到辅助数组的对应索引处
while (p1 <= mid) {
assis[i++] = a[p1++];
}
// 遍历，如果p2的指针没有走完，那么顺序移动p2指针，把对应的元素放到辅助数组的对应索引处
while (p2 <= hi) {
assis[i++] = a[p2++];
}
// 把辅助数组中的元素拷贝到原数组中
for (int index = lo; index <= hi; index++) {
a[index] = assis[index];
}
}
/*
比较v元素是否小于w
*/
private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
return v.compareTo(w) < 0;
}
/*
数组元素i和j交换位置
*/
private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
Comparable temp;
temp = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = temp;
}
}
public class TestMerge {
public static void main(String[] args) {
Integer[] arr = {8, 4, 5, 7, 1, 3, 6, 2};
Merge.sort(arr);
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
}
输出：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
归并排序时间复杂度分析：
归并排序是分治思想的最典型的例子，上面的算法中，对a[lo…hi]进行排序，先将它分为a[lo…mid]和
a[mid+1…hi]两部分，分别通过递归调用将他们单独排序，最后将有序的子数组归并为最终的排序结果。该递归的
出口在于如果一个数组不能再被分为两个子数组，那么就会执行merge进行归并，在归并的时候判断元素的大小
进行排序。
用树状图来描述归并，如果一个数组有8个元素，那么它将每次除以2找最小的子数组，共拆log8次，值为3，所以
树共有3层,那么自顶向下第k层有2k个子数组，每个数组的长度为2(3-k)，归并最多需要2^(3-k)次比较。因此每
层的比较次数为 2^k * 2(3-k)=23,那么3层总共为 3*2^3。
假设元素的个数为n，那么使用归并排序拆分的次数为log2(n),所以共log2(n)层，那么使用log2(n)替换上面32^3
中 的3这个层数，最终得出的归并排序的时间复杂度为：log2(n)* 2^(log2(n))=log2(n)*n,根据大O推导法则，忽略
底数，最终归并排序的时间复杂度为O(nlogn);
归并排序的缺点：
需要申请额外的数组空间，导致空间复杂度提升，是典型的以空间换时间的操作。
2.3 快速排序
快速排序是对冒泡排序的一种改进。它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一
部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序
过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。
需求：
排序前:{6, 1, 2, 7, 9, 3, 4, 5, 8}
排序后:{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
排序原理：
-
首先设定一个分界值，通过该分界值将数组分成左右两部分；
-
将大于或等于分界值的数据放到到数组右边，小于分界值的数据放到数组的左边。此时左边部分中各元素都小
于或等于分界值，而右边部分中各元素都大于或等于分界值；
-
然后，左边和右边的数据可以独立排序。对于左侧的数组数据，又可以取一个分界值，将该部分数据分成左右
两部分，同样在左边放置较小值，右边放置较大值。右侧的数组数据也可以做类似处理。
-
重复上述过程，可以看出，这是一个递归定义。通过递归将左侧部分排好序后，再递归排好右侧部分的顺序。
当左侧和右侧两个部分的数据排完序后，整个数组的排序也就完成了。
快速排序API设计:
| 类名 | Quick |
|---|---|
| 构造方法 | Quick()：创建Quick对象 |
| 成员方法 | 1.public static void sort(Comparable[] a)：对数组内的元素进行排序 2.private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi)：对数组a中从索引lo到索引hi之间的元素进行排序 3.private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi):对数组a中，从索引 lo到索引 hi之间的元素进行分组，并返回分组界限对应的索引 4.private static boolean less(Comparable v,Comparable w):判断v是否小于w 5.private static void exch(Comparable[] a,int i,int j)：交换a数组中，索引i和索引j处的值 |
切分原理：
把一个数组切分成两个子数组的基本思想：
-
找一个基准值，用两个指针分别指向数组的头部和尾部；
-
先从尾部向头部开始搜索一个比基准值小的元素，搜索到即停止，并记录指针的位置；
-
再从头部向尾部开始搜索一个比基准值大的元素，搜索到即停止，并记录指针的位置；
-
交换当前左边指针位置和右边指针位置的元素；
-
重复2,3,4步骤，直到左边指针的值大于右边指针的值停止。
快速排序代码实现：
public class Quick {
/*
对数组a中的元素进行排序
*/
public static void sort(Comparable[] a) {
int lo = 0;
int hi = a.length - 1;
sort(a, lo, hi);
}
/*
对数组a中从索引lo到索引hi之间的元素进行排序
*/
private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
// 安全性校验
if (hi <= lo) {
return;
}
// 需要对数组中lo索引到hi索引出的元素进行分组（左子组合右子组）
int partition = partition(a, lo, hi);// 返回的是分组的分界值所在的索引,分界值位置变化后的索引
// 让左子组有序
sort(a, lo, partition - 1);
// 让右子组有序
sort(a, partition + 1, hi);
}
/*
对数组a中，从索引 lo到索引 hi之间的元素进行分组，并返回分组界限对应的索引
*/
private static int partition(Comparable[] a, int lo, int hi) {
// 确定分界值
Comparable key = a[lo];
// 定义两个指针，分别指向带切分元素的最小索引处和最大索引处的下一个位置
int left = lo;
int right = hi + 1;
// 切分
while (true) {
// 先从右往左扫描,移动right指针,找到一个比分界值小的元素,停止
while (less(key, a[--right])) {
if (right == lo) {
break;
}
}
// 先从左往右扫描,移动left指针,找到一个比分界值大的元素,停止
while (!less(key, a[++left])) {
if (left == hi) {
break;
}
}
//判断 left>=right ,如果是,则证明元素扫描完毕,结束循环,如果不是,则交换元素即可
if (left >= right) {
break;
} else {
exch(a, left, right);
}
}
// 交换分界值
exch(a, lo, right);
return right;
}
/*
比较v元素是否小于w
*/
private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
return v.compareTo(w) < 0;
}
/*
数组元素i和j交换位置
*/
private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
Comparable temp;
temp = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = temp;
}
}
public class TestQuick {
public static void main(String[] args) {
Integer[] arr = {1, 6, 2, 7, 9, 3, 4, 5, 8};
Quick.sort(arr);
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
}
输出:[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
快速排序和归并排序的区别：
快速排序是另外一种分治的排序算法，它将一个数组分成两个子数组，将两部分独立的排序。快速排序和归并排序
是互补的：归并排序将数组分成两个子数组分别排序，并将有序的子数组归并从而将整个数组排序，而快速排序的
方式则是当两个数组都有序时，整个数组自然就有序了。在归并排序中，一个数组被等分为两半，归并调用发生在
处理整个数组之前，在快速排序中，切分数组的位置取决于数组的内容，递归调用发生在处理整个数组之后。
快速排序时间复杂度分析：
快速排序的一次切分从两头开始交替搜索，直到left和right重合，因此，一次切分算法的时间复杂度为O(n),但整个
快速排序的时间复杂度和切分的次数相关。
最优情况：每一次切分选择的基准数字刚好将当前序列等分。
如果我们把数组的切分看做是一个树，那么上图就是它的最优情况的图示，共切分了logn次，所以，最优情况下
快速排序的时间复杂度为O(nlogn);
最坏情况：每一次切分选择的基准数字是当前序列中最大数或者最小数，这使得每次切分都会有一个子组，那么总
共就得切分n次，所以，最坏情况下，快速排序的时间复杂度为O(n^2);
平均情况：每一次切分选择的基准数字不是最大值和最小值，也不是中值，这种情况我们也可以用数学归纳法证
明，快速排序的时间复杂度为O(nlogn),由于数学归纳法有很多数学相关的知识，容易使我们混乱，所以这里就不
对平均情况的时间复杂度做证明了。
2.4 排序的稳定性
稳定性的定义：
数组arr中有若干元素，其中A元素和B元素相等，并且A元素在B元素前面，如果使用某种排序算法排序后，能够保
证A元素依然在B元素的前面，可以说这个该算法是稳定的。
稳定性的意义：
如果一组数据只需要一次排序，则稳定性一般是没有意义的，如果一组数据需要多次排序，稳定性是有意义的。例
如要排序的内容是一组商品对象，第一次排序按照价格由低到高排序，第二次排序按照销量由高到低排序，如果第
二次排序使用稳定性算法，就可以使得相同销量的对象依旧保持着价格高低的顺序展现，只有销量不同的对象才需
要重新排序。这样既可以保持第一次排序的原有意义，而且可以减少系统开销。
第一次按照价格从低到高排序：
第二次按照销量进行从高到低排序：
常见排序算法的稳定性：
冒泡排序：
只有当arr[i]>arr[i+1]的时候，才会交换元素的位置，而相等的时候并不交换位置，所以冒泡排序是一种稳定排序
算法。
选择排序:
选择排序是给每个位置选择当前元素最小的,例如有数据{5(1)，8 ，5(2)， 2， 9 },第一遍选择到的最小元素为2，
所以5(1)会和2进行交换位置，此时5(1)到了5(2)后面，破坏了稳定性，所以选择排序是一种不稳定的排序算法。
插入排序：
比较是从有序序列的末尾开始，也就是想要插入的元素和已经有序的最大者开始比起，如果比它大则直接插入在其
后面，否则一直往前找直到找到它该插入的位置。如果碰见一个和插入元素相等的，那么把要插入的元素放在相等
元素的后面。所以，相等元素的前后顺序没有改变，从原无序序列出去的顺序就是排好序后的顺序，所以插入排序
是稳定的。
希尔排序：
希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序 ,虽然一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在
不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以希尔排序是不稳定的。
归并排序：
归并排序在归并的过程中，只有arr[i] 并不会破坏稳定性，归并排序是稳定的。 快速排序： 快速排序需要一个基准值，在基准值的右侧找一个比基准值小的元素，在基准值的左侧找一个比基准值大的元素， 然后交换这两个元素，此时会破坏稳定性，所以快速排序是一种不稳定的算法。