数据结构大总结~（二叉树）
文章目录
- 1 树的概念和结构
-
- 1.1树的概念
- 1.2 树的相关概念
- 1.3 树的表示
- 1.4 树的应用
- 2 二叉树
-
- 2.1 二叉树的概念
- 2.2特殊的二叉树
- 2.3二叉树的常用性质
- 2.4二叉树的存储结构
- 3 二叉树的实现（链式）
-
- 3.1二叉树的创建
- 3.2二叉树的前序遍历
- 3.3二叉树的中序遍历
- 3.4二叉树的后序遍历
- 3.5获取节点总的个数
- 3.6获取叶子节点的个数
- 3.7获取第k层节点的个数
- 3.7获取树的高度
- 3.8检测data是否在二叉树中
- 3.9销毁树
- 4 二叉树实现完整代码
1 树的概念和结构
1.1树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
1.有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
2.除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每3.一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3.因此，树是递归定义的。
注意：子树之间是不能有交集的，否则就不是树型结构
1.2 树的相关概念
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
1.3 树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
typedef int DataType;
struct Node {
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};
1.4 树的应用
2 二叉树
2.1 二叉树的概念
- 空树
- 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
- 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
任意二叉树皆有以下几种情况组成：
2.2特殊的二叉树
- 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。
- 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.3二叉树的常用性质
- 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 个 2^(i-1）结点.
- 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h-1
- 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2 ,则有n0 ＝n2 ＋1
- 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1
若2i+2
2.4二叉树的存储结构
- 顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
- 链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链
3 二叉树的实现（链式）
3.1二叉树的创建
由数组创建二叉树时必须规定位置为空的值
//invalib为我们规定为空位置的值
BTNode* CreateBinaryTree(BTDataType array[], int size, BTDataType invalid)
{
int index = 0;
return _CreateBinaryTree(array, size, &index, invalid);
}
BTNode* _CreateBinaryTree(BTDataType array[], int size, int* index, BTDataType invalid)
{
BTNode* root = NULL;
if (*index < size && array[*index] != invalid)
{
root = BuyBinaryTreeNode(array[*index]);
++(*index);
root->left = _CreateBinaryTree(array, size, index, invalid);
++(*index);
root->right = _CreateBinaryTree(array, size, index, invalid);
}
return root;
}
3.2二叉树的前序遍历
//前序遍历
void PreOrder(BTNode* root)
{
if (NULL == root){
return NULL;
}
printf("%d", root->data);
PreOrder(root->left);
PreOrder(root->right);
}
3.3二叉树的中序遍历
//中序遍历
void InOrder(BTNode* root)
{
if (NULL == root){
return NULL;
}
PreOrder(root->left);
printf("%d", root->data);
PreOrder(root->right);
}
3.4二叉树的后序遍历
//后续遍历
void PostOrder(BTNode* root)
{
if (NULL == root){
return NULL;
}
PreOrder(root->left);
PreOrder(root->right);
printf("%d", root->data);
}
3.5获取节点总的个数
// 获取节点总的个数
int GetSize(BTNode* root)
{
if (NULL == root)
{
return 0;
}
return 1 + GetSize(root->left) + GetSize(root->right);
}
3.6获取叶子节点的个数
// 获取叶子节点的个数
int GetLeafNodeCount(BTNode* root)
{
if (NULL == root)
{
return 0;
}
if (NULL == root->left&&NULL == root->right)
{
return 1;
}
return GetLeafNodeCount(root->left) + GetLeafNodeCount(root->right);
}
3.7获取第k层节点的个数
// 获取第k层节点的个数
int GetKLevelNodeCount(BTNode* root, int k)
{
if (NULL == root || k < 1)
return 0;
if (1 == k)
return 1;
return GetKLevelNodeCount(root->left, k - 1) +
GetKLevelNodeCount(root->right, k - 1);
}
3.7获取树的高度
//获取数的高度
int GetHeight(BTNode* root)
{
if (NULL == root)
return 0;
int leftHegiht = GetHeight(root->left);
int rightHegiht = GetHeight(root->right);
return leftHegiht > rightHegiht ? leftHegiht + 1 : rightHegiht + 1;
}
3.8检测data是否在二叉树中
// 检测data是否在二叉树中
BTNode* Find(BTNode* root, BTDataType data)
{
BTNode* ret = NULL;
if (NULL == root)
return NULL;
if (root->data == data)
return root;
if (ret = Find(root->left, data))
{
return ret;
}
return Find(root->right, data);
}
3.9销毁树
//销毁树
void Destroy(BTNode** root)
{
assert(root);
if (*root)
{
Destroy(&(*root)->left);
Destroy(&(*root)->right);
free(*root);
*root = NULL;
}
}
4 二叉树实现完整代码
Binarytree.h:
#pragma once
#include Binarytree.c:
#include"Binarytree.h"
//新增结点
BTNode* BuyBinaryTreeNode(BTDataType data)
{
BTNode* newNode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (NULL == newNode){
assert(0);
return NULL;
}
newNode->data = data;
newNode->left = NULL;
newNode->right = NULL;
return newNode;
}
BTNode* _CreateBinaryTree(BTDataType array[], int size, int* index, BTDataType invalid)
{
BTNode* root = NULL;
if (*index < size && array[*index] != invalid)
{
root = BuyBinaryTreeNode(array[*index]);
++(*index);
root->left = _CreateBinaryTree(array, size, index, invalid);
++(*index);
root->right = _CreateBinaryTree(array, size, index, invalid);
}
return root;
}
//创建树
BTNode* CreateBinaryTree(BTDataType array[], int size, BTDataType invalid)
{
int index = 0;
return _CreateBinaryTree(array, size, &index, invalid);
}
//前序遍历
void PreOrder(BTNode* root)
{
if (NULL == root){
return NULL;
}
printf("%d", root->data);
PreOrder(root->left);
PreOrder(root->right);
}
//中序遍历
void InOrder(BTNode* root)
{
if (NULL == root){
return NULL;
}
PreOrder(root->left);
printf("%d", root->data);
PreOrder(root->right);
}
//后续遍历
void PostOrder(BTNode* root)
{
if (NULL == root){
return NULL;
}
PreOrder(root->left);
PreOrder(root->right);
printf("%d", root->data);
}
// 获取节点总的个数
int GetSize(BTNode* root)
{
if (NULL == root)
{
return 0;
}
return 1 + GetSize(root->left) + GetSize(root->right);
}
// 获取叶子节点的个数
int GetLeafNodeCount(BTNode* root)
{
if (NULL == root)
{
return 0;
}
if (NULL == root->left&&NULL == root->right)
{
return 1;
}
return GetLeafNodeCount(root->left) + GetLeafNodeCount(root->right);
}
// 获取第k层节点的个数
int GetKLevelNodeCount(BTNode* root, int k)
{
if (NULL == root || k < 1)
return 0;
if (1 == k)
return 1;
return GetKLevelNodeCount(root->left, k - 1) +
GetKLevelNodeCount(root->right, k - 1);
}
//获取数的高度
int GetHeight(BTNode* root)
{
if (NULL == root)
return 0;
int leftHegiht = GetHeight(root->left);
int rightHegiht = GetHeight(root->right);
return leftHegiht > rightHegiht ? leftHegiht + 1 : rightHegiht + 1;
}
// 检测data是否在二叉树中
BTNode* Find(BTNode* root, BTDataType data)
{
BTNode* ret = NULL;
if (NULL == root)
return NULL;
if (root->data == data)
return root;
if (ret = Find(root->left, data))
{
return ret;
}
return Find(root->right, data);
}
//销毁树
void Destroy(BTNode** root)
{
assert(root);
if (*root)
{
Destroy(&(*root)->left);
Destroy(&(*root)->right);
free(*root);
*root = NULL;
}
}
test.c:
#include"Binarytree.h"
void TestBinaryTree()
{
int array[] = { 1, 2, 3, -1, -1, -1, 4, 5, -1, -1, 6 };//-1表示此位置为空
int index = 0;
BTNode* root = CreateBinaryTree(array, sizeof(array) / sizeof(array[0]), -1);
printf("前序遍历：");
PreOrder(root);
printf("\n");
printf("中序遍历：");
InOrder(root);
printf("\n");
printf("后序遍历：");
PostOrder(root);
printf("\n");
printf("节点总数：%d\n", GetSize(root));
printf("叶子节点总数：%d\n", GetLeafNodeCount(root));
printf("第%d层节点总数：%d\n", 2, GetKLevelNodeCount(root, 2));
printf("树的高度为：%d\n", GetHeight(root));
if (Find(root, 15))
{
printf("15 is in binary tree\n");
}
else
{
printf("15 is not in binary tree\n");
}
Destroy(&root);
}
int main(){
TestBinaryTree();
system("pause");
return 0;
}
测试结果：
