C++进阶篇4---番外-AVL树
一、AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。一棵AVL树或者是空树，或者具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树的高度差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(只能是-1/0/1)
【注意】平衡因子是用右子树的高度减去左子树的高度得到的
二、AVL树结点的定义
template
struct AVLTreeNode {
AVLTreeNode* _left;
AVLTreeNode* _right;
AVLTreeNode* _parent;
pair _kv;
int _bf;
AVLTreeNode(const pair& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
,_kv(kv)
,_bf(0)
{}
}; 三、AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。AVL树的插入过程可以分为两步：
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 调整节点的平衡因子
template
class AVLTree {
typedef AVLTreeNode Node;
public:
bool insert(const pair& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if(cur->_kv.first>kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_parent = parent;
if (parent->_kv.first > kv.first )
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
//看树是否还保持平衡
while (parent)
{
//先调整平衡因子---因为插入的结点是叶子节点，所以父结点的平衡因子必然发生变化
//在根据平衡因子的计算公式height_r - height_l，判断平衡因子的变化
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
//看是否需要调整以及如何调整
//...
}
}
private:
Node* _root = nullptr;
}; 上面代码的插入逻辑和二叉搜索树很相似，这里不多讲了(忘记的或者不了解的可以去看二叉搜索树)，主要看如何判断树是否平衡以及如何调整使得树保持平衡
这里主要分三种情况：
1、父节点的平衡因子变成0，则树保持平衡，不需要变化
解释:父节点的平衡因子变成0，说明之前未正负1，只有如下两种情况
2、父节点的平衡因子变成正负1，则该子树的高度发生变化，但该子树依旧平衡，要看它的父节点所在的子树是否还能保持平衡
3、父结点的平衡因子变成正负2，则该子树的不能保持平衡，需要进行旋转调整
template
class AVLTree {
typedef AVLTreeNode Node;
public:
bool insert(const pair& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if(cur->_kv.first>kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_parent = parent;
if (parent->_kv.first > kv.first )
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
//看树是否还保持平衡
while (parent)
{
//先调整平衡因子
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//分4种情况:左单旋，右单旋，先左旋在右旋，先右旋在左旋
//...
//旋转完成后子树就平衡了=> 整个树都平衡了，直接退出循环
break;
}
else
{
//如果进入这里，说明前面的代码出错
assert(0);
}
}
}
private:
Node* _root = nullptr;
}; 四、旋转调整
1、新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
代码如下
void _RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
Node* pParent = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (subRL)//注意h==0的情况
subRL->_parent = parent;
if (_root == parent)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
subR->_parent = pParent;
if (pParent->_left == parent)
{
pParent->_left = subR;
}
else
{
pParent->_right = subR;
}
}
subR->_bf = parent->_bf = 0;
}2、 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
注意事项同上。
代码如下
void _RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* pParent = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (subLR)//注意h==0的情况
subLR->_parent = parent;
if (_root == parent)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
subL->_parent = pParent;
if (pParent->_left == parent)
{
pParent->_left = subL;
}
else
{
pParent->_right = subL;
}
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}3、 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋
代码如下
void _RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;//提前记录，防止在旋转时被修改
_RotateR(parent->_right);
_RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = -1;
subR->_bf = subRL->_bf = 0;
}
else
{
subR->_bf = 1;
parent->_bf = subRL->_bf = 0;
}
}4.新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
这个留给读者思考
附：
//完整版代码
template
struct AVLTreeNode {
AVLTreeNode* _left;
AVLTreeNode* _right;
AVLTreeNode* _parent;
pair _kv;
int _bf;
AVLTreeNode(const pair& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
,_kv(kv)
,_bf(0)
{}
};
template
class AVLTree {
typedef AVLTreeNode Node;
public:
bool insert(const pair& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_parent = parent;
if (parent->_kv.first > kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
while (parent)
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)//为0，说明之前_bf=-1/1,即子树的高度没有发生变化
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//为正负1，说明之前_bf=0，即子树的高度发生变化，并且会影响到上层祖宗结点
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)//为正负2，树明显不平衡，需要旋转调整
{
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//如果该子树的严格右边高，则左单旋
{
_RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//如果该子树的严格左边高，则右单旋
{
_RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//左右旋
{
_RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//右旋左旋
{
_RotateRL(parent);
}
break;//旋转之后整个树就平衡了，直接跳出循环
}
else
{
//这种情况不可能发生，如果发生就说明程序出错
assert(false);
}
}
return true;
}
void _RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
_RotateL(parent->_left);
_RotateR(parent);
if (bf == 1)
{
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = parent->_bf = 0;
}
else if(bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
subL->_bf = subLR->_bf = 0;
}
else//bf==0，插入的结点就是subLR
{
parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;
}
}
void _RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
_RotateR(parent->_right);
_RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
parent->_bf = -1;
subR->_bf = subRL->_bf = 0;
}
else if(bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
parent->_bf = subRL->_bf = 0;
}
else //bf==0，插入的结点就是subLR
{
parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;
}
}
//右单旋
void _RotateR(Node*parent)
{
Node* subL = parent->_left;//找到要作为新根的结点
Node* pParent = parent->_parent;//找到该子树的父亲结点
Node* subLR = subL->_right;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
if (_root == parent)//如果是根
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
subL->_parent = pParent;
if (pParent->_left == parent)
{
pParent->_left = subL;
}
else
{
pParent->_right = subL;
}
}
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
//左单旋
void _RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;//找到要作为新根的结点
Node* pParent = parent->_parent;//找到该子树的父亲结点
Node* subRL = subR->_left;//找到要被"过继"的孩子结点
subR->_left = parent;
if (subRL)//如有"过继"结点
subRL->_parent = parent;
parent->_parent = subR;
parent->_right = subRL;
if (_root == parent)//如果是根
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
subR->_parent = pParent;
if (pParent->_left == parent)
{
pParent->_left = subR;
}
else
{
pParent->_right = subR;
}
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
bool Isbalance()
{
return _Isbalance(_root);
//return _Isbalance(_root) >= 0;
}
bool _Isbalance(Node*root)
{
if (root == nullptr)
return true;
int left = _Height(root->_left);
int right = _Height(root->_right);
if (abs(right - left) > 1)
{
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
return false;
}
if (right - left != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << ":"<< "平衡因子出错" << endl;
return false;
}
return _Isbalance(root->_left) && _Isbalance(root->_right);
}
size_t size()
{
return _size(_root);
}
size_t Height()
{
return _Height(_root);
}
private:
size_t _Height(Node*root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
return max(_Height(root->_left),_Height(root->_right)) + 1;
}
size_t _size(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
return 1 + _size(root->_left) + _size(root->_right);
}
//如果单纯判断是否平衡可以这么写，-1表示不平衡，>=0表示平衡
//int _Isbalance(Node* root)
//{
// if (root == nullptr)
// return 0;
// int left = _Isbalance(root->_left);
// if (left < 0) return -1;
// int right = _Isbalance(root->_right);
// if (right < 0) return -1;
// if (abs(right - left) > 1 || right - left != root->_bf)
// {
// return -1;
// }
// return max(left, right) + 1;
//}
private:
Node* _root = nullptr;
};