AcWing 876. 快速幂求逆元

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题目描述

给定 n 组 ai,pi,其中 pi 是质数,求 ai 模 pi 的乘法逆元,若逆元不存在则输出 impossible。

注意:请返回在 0∼p−1 之间的逆元。

乘法逆元的定义

若整数 b,m 互质,并且对于任意的整数 a,如果满足 b|a,则存在一个整数 x,使得 a/b≡a×x(mod m),则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元,记为 b−1(mod m)。
b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时,bm−2 即为 b 的乘法逆元。

输入输出格式

输入

第一行包含整数 n。
接下来 n 行,每行包含一个数组 ai,pi,数据保证 pi 是质数。

输出

输出共 n 行,每组数据输出一个结果,每个结果占一行。
若 ai 模 pi 的乘法逆元存在,则输出一个整数,表示逆元,否则输出 impossible。

输入输出样例

输入

3
4 3
8 5
6 3

输出

1
2
impossible

题目分析

我们直接来看求乘法逆元的算法的推演及证明

a / b ≡ a * x (mod n)
两边同乘b可得 a ≡ a * b * x (mod n)
即 1 ≡ b * x (mod n)
同 b * x ≡ 1 (mod n)
由费马小定理可知,当n为质数时
b ^ (n - 1) ≡ 1 (mod n)
拆一个b出来可得 b * b ^ (n - 2) ≡ 1 (mod n)
故当n为质数时,b的乘法逆元 x = b ^ (n - 2)
求b ^ (n - 2) (mod n)可以用我们之前学过的快速幂算法来做

而且要注意的是 :

b不能是n的倍数,如若b % n == 0, 则bn-1 % n == 0 恒成立,不满足费马定理的条件,故此种情况b没有乘法逆元。

详见如下代码。

代码

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
LL qmi(LL a, LL b, LL p) {
	LL res = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) res = res * a % p;
		a = a * a % p;
		b >>= 1; 
	}
	return res;
}
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	while (n -- ) {
		LL a, p;
		cin >> a >> p;
		if (a % p == 0) cout << "impossible" << endl;
		else cout << qmi(a, p - 2, p) << endl; 
	}
	return 0;
}

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