AcWing 876. 快速幂求逆元

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题目描述 ：

给定 n 组 ai,pi，其中 pi 是质数，求 ai 模 pi 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。

注意：请返回在 0∼p−1 之间的逆元。

乘法逆元的定义

若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 a/b≡a×x(mod m)，则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 b⁻¹(mod m)。
b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时，b^m−2 即为 b 的乘法逆元。

输入输出格式 ：

输入

第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个数组 ai,pi，数据保证 pi 是质数。

输出

输出共 n 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。
若 ai 模 pi 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

输入输出样例 ：

输入

3
4 3
8 5
6 3

输出

1
2
impossible

题目分析 ：

我们直接来看求乘法逆元的算法的推演及证明

a / b ≡ a * x (mod n)
两边同乘b可得 a ≡ a * b * x (mod n)
即 1 ≡ b * x (mod n)
同 b * x ≡ 1 (mod n)
由费马小定理可知，当n为质数时
b ^ (n - 1) ≡ 1 (mod n)
拆一个b出来可得 b * b ^ (n - 2) ≡ 1 (mod n)
故当n为质数时，b的乘法逆元 x = b ^ (n - 2)
求b ^ (n - 2) (mod n)可以用我们之前学过的快速幂算法来做

而且要注意的是 ：

b不能是n的倍数，如若b % n == 0， 则b^n-1 % n == 0 恒成立，不满足费马定理的条件，故此种情况b没有乘法逆元。

详见如下代码。

代码 ：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
LL qmi(LL a, LL b, LL p) {
	LL res = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) res = res * a % p;
		a = a * a % p;
		b >>= 1; 
	}
	return res;
}
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	while (n -- ) {
		LL a, p;
		cin >> a >> p;
		if (a % p == 0) cout << "impossible" << endl;
		else cout << qmi(a, p - 2, p) << endl; 
	}
	return 0;
}