2023 第九届数维杯D题 建模解析，小鹿学长带队指引全代码文章与思路
我是小鹿学长，就读于上海交通大学，截至目前已经帮200+人完成了建模与思路的构建的处理了～
这回带大家体验一下第九届数维杯D题呀！
问题一：最佳清洁方法
在问题一中，我们要考虑在给定污垢数量和可用水量的情况下，通过选择适当的溶解度 (a_k)，清洁的最佳方法是什么。
首先，我们可以建立一个数学模型来描述污垢的变化过程：
C k = ( 1 − a k ) C k − 1 C_k = (1 - a_k)C_{k-1} Ck=(1−ak)Ck−1
其中， C k C_k Ck 是第 k k k 次清洗后的污垢量， C k − 1 C_{k-1} Ck−1 是第 k − 1 k-1 k−1次清洗后的污垢量， a k a_k ak 是第 k k k次清洗时的污垢溶解度。
目标是最小化总污垢量：
C total = ∑ k = 1 n C k C_{\text{total}} = \sum_{k=1}^{n} C_k Ctotal=∑k=1nCk
考虑到可用水量的限制，我们可以引入一个水量限制条件：
∑ k = 1 n V k ≤ V total \sum_{k=1}^{n} V_k \leq V_{\text{total}} ∑k=1nVk≤Vtotal
其中， V k V_k Vk 是第 k k k 次清洗使用的水量， V total V_{\text{total}} Vtotal是可用的总水量。
现在，我们可以使用数学优化方法（如线性规划或非线性规划）来解决这个问题，找到使得总污垢量最小的 a k a_k ak和 V k V_k Vk的组合。
关于 a k ak ak，初始污垢量 C 0 C_0 C0 和可用水量 V total V_{\text{total}} Vtotal 对目标的影响，可以通过对模型进行敏感性分析来讨论。在不同的参数值下进行模拟或数值实验，观察最优解如何随这些参数的变化而变化，从而得出关于它们对目标的影响的结论。
进一步讨论关于 a k a_k ak，初始污垢量 C 0 C_0 C0 和可用水量 V total V_{\text{total}} Vtotal 对最优解的影响
-
影响 a k a_k ak 的因素：
- 初值 a 1 a_1 a1 的选择： 由于 a k = 0.5 a k − 1 a_k = 0.5a_{k-1} ak=0.5ak−1，初值 a 1 a_1 a1 的选择会对整个清洁过程产生重要影响。如果 a 1 a_1 a1 较大，可能导致清洁效果较差，因为溶解度随着清洗次数的增加而减小。
- 溶解度递减速率 0.5 0.5 0.5： 0.5 0.5 0.5 的选择影响了溶解度的迅速下降。更小的递减速率会导致溶解度更慢地减小，可能需要更多的清洗次数来达到理想的清洁效果。
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影响初始污垢量 C 0 C_0 C0 的因素：
- 初始污垢量 C 0 C_0 C0 的大小： 更大的初始污垢量可能需要更多的清洗次数才能达到相同的清洁效果。在水量有限的情况下，可能需要更大的水量来处理更大的初始污垢量。
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影响可用水量 V total V_{\text{total}} Vtotal 的因素：
- 水量限制 V total V_{\text{total}} Vtotal 的大小： 较小的水量限制可能导致无法达到理想的清洁效果。在水量有限的情况下，可能需要更高的溶解度 a k a_k ak 或更少的初始污垢量来适应水量限制。
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
def objective_function(variables):
# 定义目标函数，即总污垢量
ak_values = variables[:n]
Vk_values = variables[n:]
Ck_values = [C0]
for k in range(1, n+1):
Ck_values.append((1 - ak_values[k-1]) * Ck_values[k-1])
return np.sum(Ck_values)
def constraint(variables):
# 定义约束条件，即水量限制
Vk_values = variables[n:]
return V_total - np.sum(Vk_values)
# 初始参数
n = 10 # 清洗次数
C0 = 100 # 初始污垢量
V_total = 500 # 可用水量
# 设置初始猜测值
initial_guess = np.ones(2 * n) # [a1, a2, ..., an, V1, V2, ..., Vn]
# 设置约束条件
constraint_definition = {'type': 'ineq', 'fun': constraint}
# 优化器
result = minimize(objective_function, initial_guess, constraints=constraint_definition)
# 提取最优解
optimal_ak_values = result.x[:n]
optimal_Vk_values = result.x[n:]
# 输出结果
print("最优清洁方法：")
print("最优的ak值：", optimal_ak_values)
print("最优的Vk值：", optimal_Vk_values)
print("最小总污垢量：", result.fun)
问题二：
问题二：最省时的清洗计划
在问题二中，我们假设每次清洗所需的时间相同且可用水没有限制。优化目标是找到最省时的清洗计划，确保最终的污垢残留量不超过初始污垢量的千分之一。
首先，我们可以建立一个数学模型来描述污垢的变化过程：
C k = ( 1 − a k ) C k − 1 C_k = (1 - a_k)C_{k-1} Ck=(1−ak)Ck−1
其中， C k C_k Ck 是第 k k k次清洗后的污垢量， C k − 1 C_{k-1} Ck−1 是第 k − 1 k-1 k−1 次清洗后的污垢量， a k a_k ak 是第 k k k 次清洗时的污垢溶解度。
由于每次清洗所需的时间相同，我们可以使用相同的时间单位。设每次清洗所需的时间为 T T T，清洗次数为 n n n。
优化目标是最小化总清洗时间：
T total = n ⋅ T T_{\text{total}} = n \cdot T Ttotal=n⋅T
同时，需要满足最终的污垢残留量不超过初始污垢量的千分之一：
C n ≤ C 0 1000 C_n \leq \frac{C_0}{1000} Cn≤1000C0
现在，我们可以使用数学优化方法（如线性规划或非线性规划）来解决这个问题，找到使得总清洗时间最短的 (a_k) 和 (n) 的组合。
影响 a k a_k ak 和初始污垢量 C 0 C_0 C0 的因素：
- a k a_k ak 的影响： 更大的 a k a_k ak 可能会导致更快的污垢溶解，从而减少清洗次数，缩短总清洗时间。
- 初始污垢量 C 0 C_0 C0 的影响： 较大的初始污垢量可能需要更多的清洗次数才能达到最终的要求，从而增加总清洗时间。
使用SciPy库中的优化器：
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
def objective_function(variables):
# 定义目标函数，即总清洗时间
ak_values = variables[:n]
Ck_values = [C0]
for k in range(1, n+1):
Ck_values.append((1 - ak_values[k-1]) * Ck_values[k-1])
return n * T
def constraint(variables):
# 定义约束条件，即最终的污垢残留量不超过初始污垢量的千分之一
ak_values = variables[:n]
Ck_values = [C0]
for k in range(1, n+1):
Ck_values.append((1 - ak_values[k-1]) * Ck_values[k-1])
return Ck_values[-1] - C0 / 1000
# 初始参数
n = 10 # 清洗次数
C0 = 100 # 初始污垢量
T = 1 # 每次清洗所需时间
# 设置初始猜测值
initial_guess = np.ones(n) # [a1, a2, ..., an]
# 设置约束条件
constraint_definition = {'type': 'ineq', 'fun': constraint}
# 优化器
result = minimize(objective_function, initial_guess, constraints=constraint_definition)
# 提取最优解
optimal_ak_values = result.x
# 输出结果
print("最省时的清洗计划：")
print("最优的ak值：", optimal_ak_values)
print("最小总清洗时间：", result.fun)
问题三：节省成本又能够有效清洁的方案
在这个问题中，我们需要考虑不同洗涤剂的价格、溶解度以及水费用，以找到既节省成本又能够有效清洁的方案。我们可以使用线性规划来建模这个问题。
定义变量声明：
- D i D_i Di：第 i i i 种洗涤剂的使用量（以升为单位）
- a i k a_{ik} aik：第 i i i 种洗涤剂在第 k k k 次清洗时对污垢的溶解度
- $P_i)：第 i i i 种洗涤剂的单位价格
- C water C_{\text{water}} Cwater：水费用（每吨水的价格）
- V k V_k Vk：第 k k k 次清洗使用的水量
建立多元分析数学模型：
目标函数：
Minimize Z = ∑ i = 1 10 ( D i ⋅ P i ) + C water ⋅ ∑ k = 1 n V k \text{Minimize } Z = \sum_{i=1}^{10} (D_i \cdot P_i) + C_{\text{water}} \cdot \sum_{k=1}^{n} V_k Minimize Z=i=1∑10(Di⋅Pi)+Cwater⋅k=1∑nVk
约束条件：
- 污垢溶解度： C k = ( 1 − ∑ i = 1 10 a i k ⋅ D i ) ⋅ C k − 1 C_k = (1 - \sum_{i=1}^{10} a_{ik} \cdot D_i) \cdot C_{k-1} Ck=(1−i=1∑10aik⋅Di)⋅Ck−1
- 最终的污垢残留量不超过初始污垢量的千分之一： C n ≤ C 0 1000 C_n \leq \frac{C_0}{1000} Cn≤1000C0
- 水量限制： ∑ k = 1 n V k ≤ V total \sum_{k=1}^{n} V_k \leq V_{\text{total}} k=1∑nVk≤Vtotal
- 洗涤剂使用量非负： D i ≥ 0 , for i = 1 , 2 , . . . , 10 D_i \geq 0, \text{ for } i = 1,2,...,10 Di≥0, for i=1,2,...,10
- 水量非负： V k ≥ 0 , for k = 1 , 2 , . . . , n V_k \geq 0, \text{ for } k = 1,2,...,n Vk≥0, for k=1,2,...,n
接下来，我们可以使用线性规划工具，比如SciPy库中的linprog函数，来求解这个问题。
以下是一个简化的Python代码示例：
import numpy as np
from scipy.optimize import linprog
# 初始参数
n = 10 # 清洗次数
C0 = 100 # 初始污垢量
V_total = 500 # 可用水量
C_limit = C0 / 1000 # 最终的污垢残留量不超过初始污垢量的千分之一
Ck_values = [C0]
# 表2中的洗涤剂数据
a_values = np.array([[0.2, 0.3, ..., 0.1], # 洗涤剂1的溶解度
[0.1, 0.2, ..., 0.3], # 洗涤剂2的溶解度
...
[0.4, 0.1, ..., 0.2]]) # 洗涤剂10的溶解度
P_values = np.array([2.5, 1.8, ..., 3.0]) # 洗涤剂的单位价格
# 定义线性规划问题
c = np.concatenate((P_values, np.ones(n))) # 目标函数系数
A_eq = np.zeros((n+1, 2*n)) # 等式约束矩阵
b_eq = np.zeros(n+1) # 等式约束右侧
# 设置等式约束矩阵和右侧
for k in range(1, n+1):
A_eq[k, :n] = -a_values[:, k-1]
A_eq[k, n+k-1] = C0
b_eq[k] = Ck_values[-1]
# 设置水量限制
A_ub = np.zeros((1, 2*n)) # 不等式约束矩阵
b_ub = np.array([V_total]) # 不等式约束右侧
A_ub[0, n:] = 1
# 设置边界
bounds = [(0, None) for _ in range(2*n)]
# 使用线性规划求解
result = linprog(c, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=bounds, method='highs')
# 提取最优解
optimal_D_values = result.x[:n]
optimal_V_values = result.x[n:]
# 输出结果
print("最省成本又能够有效清洁的方案：")
print("最优的洗涤剂使用量：", optimal_D_values)
print("最优的水量使用量：", optimal_V_values)
print("最小总成本：", result.fun)
下面去了解完整的呀～
小鹿学长 数维杯D题 全代码文章与思路