缺失值处理-拉格朗日插值

常用的插值法有：
一维插值法：拉格朗日插值、牛顿插值、分段低次插值、埃尔米特插值、样条插值。
二维插值法：双线性插值、双二次插值。

拉格朗日插值法
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E6%8F%92%E5%80%BC%E6%B3%95

优点与缺点：
拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐[5]。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差（如右下图）[6]。这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。

Python实现：

from scipy.interpolate import lagrange #导入拉格朗日插值函数

inputfile = '/Users/xiaoyi.yang/Downloads/missing_data.xls' #输入数据路径,需要使用Excel格式；
outputfile = '/Users/xiaoyi.yang/Downloads/missing_data_processed.xls' #输出数据路径,需要使用Excel格式

data = pd.read_excel(inputfile, header=None) #读入数据
data

#自定义列向量插值函数
#s为列向量，n为被插值的位置，k为取前后的数据个数，默认为5
def ployinterp_column(s, n, k=5):
  y = s[list(range(n-k, n)) + list(range(n+1, n+1+k))] #取数
  y = y[y.notnull()] #剔除空值
  return lagrange(y.index, list(y))(n) #插值并返回插值结果

#逐个元素判断是否需要插值
for i in data.columns:
  for j in range(len(data)):
    if (data[i].isnull())[j]: #如果为空即插值。
      data[i][j] = ployinterp_column(data[i], j)

data.to_excel(outputfile, header=None, index=False) #输出结果`